精品解析：上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

同济二附中2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______． 2 已知，，则______． 3. 已知全集，集合，则______. 4. 已知集合，则实数的取值集合为______________． 5. 下列命题中真命题的编号是______． ①是一元二次方程； ②空集是任何非空集合的真子集； ③互相包含的两个集合相等； ④若，则； ⑤满足的集合M有7个． 6. 不等式的解集为，则的取值范围是______． 7. 已知关于x的方程的两个实数根是，，若，则实数m的值为______. 8. 若，则“”是 “”的_____条件 9. 若集合有且仅有两个子集，则实数__________； 10. 关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是________ 11. 已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是______. 12. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则______. 二、选择题（本题满分18分，共4小题，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（ ） A. 任意三角形都没有钝角 B. 存在一个三角形恰有一个钝角 C. 任意三角形都有两个钝角 D. 存在一个三角形至少有两个钝角 14. 已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A B. C. D. 15. 已知集合或，，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 16. 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 17. 解下列关于x的不等式或不等式组： （1）（a为实数） （2） 18 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 19. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ （2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）若两根异号，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）求使的值为整数的实数的整数值． 21. 定义为个实数，，…，中最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济二附中2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求集合A，进而根据并集运算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为：. 2. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求得交点坐标即可求出两集合交集. 【详解】，，联立，解得， 所以. 故答案为：. 3. 已知全集，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式求解集合A，然后利用补集运算求解即可. 【详解】因为集合或，所以. 故答案为：. 4. 已知集合，则实数的取值集合为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系，得到元素与集合的关系，即可得到实数的取值集合. 【详解】解：集合，则 所以或. 所以实数的取值集合为：. 故答案为：. 5. 下列命题中真命题的编号是______． ①是一元二次方程； ②空集是任何非空集合的真子集； ③互相包含的两个集合相等； ④若，则； ⑤满足的集合M有7个． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①：根据一元二次方程的定义分析判断；对于②③⑤：根据空集以及集合间的关系分析判断；对于④：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于①：方程不一定是一元二次方程，例如，故①错误； 对于②：由空集的性质可知：空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 对于③：若，等价于，故③正确； 对于④：若，则，所以，故④正确； 对于⑤：若，则集合M中必含有元素1，2，且不止2个元素； 若，则集合M中含有元素3，4，5中至少一个元素，但不能包含全部