精品解析：北京市第十三中学2024届高三上学期期中测试数学试题

北京市第十三中学2023~2024学年第一学期 高三数学期中测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试束后，将本试卷的答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则在复平面中，复数的共轭复数对应的点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是减函数 B. 是奇函数，且在上是增函数 C. 是偶函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是增函数 5. 已知的展开式中，的系数为80，则（ ） A B. C. D. 2 6. 直线与圆相交于两点，若，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知均为第一象限的角，那么是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为（ ） （图1） （图2） A 90 B. C. D. 135 10. 已知等差数列的公差为；集合，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 直线的倾斜角的大小为_______． 12. 在数列中，，则______；的前项和______． 13. 近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：（是常数）如图记录了两次实验的数据，则根据上述函数模型和所得实验数据可得______．（参考数据：） 14. 在平面直角坐标系中，若，则满足的一个的值可以是______． 15. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同的反相位声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，且经过点．下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数区间上单调递减； ③存在正整数，使得； ④对于任意实数，存在常数使得．其中所有正确结论的编号是______． 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，点为的中点． （1）证明平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数，．在下列关于函数与图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，并求解下列问题． （1）求函数的解析式； （2）若对于，存在唯一的，使得，求的取值范围． 条件①：两函数图像在内有且仅有两个交点； 条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为； 条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： （1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明） 19. 已知椭圆过点，且离心率为． (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值． 20. 已知函数． （