4.4.2对数函数的图象和性质(2)学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质（2） 【知识梳理】 【知识点一】对数函数的单调性 1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝logax为增函数，当0<a<1时，y＝logax为减函数． 2．对于y＝logax，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0. 【知识点二】复合函数的单调性 复合函数y＝loga f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝loga f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝loga f(x)的减(增)区间． 【例题探究】 【类型一】对数函数单调性的应用 【例1】　比较下列各组中两个值的大小： (1)3log45,2log23；(2)log30.2，log40.2； (3)log3π，logπ3；(4)log0.20.1,0.20.1. 【归纳总结】比较对数式大小的常用方法 （1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性. （2）比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小. （3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量：如1，0，－1等进行比较. （4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个式子的结构特征，以及它们与中间量0和1等的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可. （5）比较含参数的两个对数式的大小，若底数中有参数，要注意对底数进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件. 【变式训练1】　(1)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　 　) A．c>b>a　　　　　 B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c (2)已知a＝，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　 　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 【例2】　(1)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围． (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围． 【归纳小结】对数不等式的三种考查类型 1形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解. 2形如logax>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式b＝logaab，再借助y＝logax的单调性求解. 3形如logfxa>loggxafx，gx>0且不等于1，a>0的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 【变式训练2】　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为___________________. 【类型二】与对数函数有关的复合函数的单调性 【例3】　(1)求函数f(x)＝log (x2－2x－3)的单调区间． (2)讨论函数f(x)＝(logx)2－2logx＋2的单调性． 【归纳小结】 1解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意函数的定义域. 2对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝loga fxa>0，且a≠1型；另一类是对数函数为内函数，即y＝flogaxa>0，且a≠1型.对于y＝loga fxa>0，且a≠1型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝loga fxa>0，且a≠1的单调性与函数u＝fxfx>0的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反.,研究y＝flogaxa>0，且a≠1型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判断即可，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝ft的单调性即可. 【变式训练3】　函数f(x)＝log(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 类型三　　　对数函数性质的综合应用 【例4】　已知奇函数f(x)＝ln. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当x∈[2,5]时，ln(1＋x)>m＋ln(x－1)恒成立，求实数m的取值范围． 【归纳小结】 1定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要. 2单调性：复合函数单调性的核心是同增异减. 3奇偶性：难点在于对数式的化简与变形