5.1.2弧度制教学课件——2023～2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.1任意角和弧度制 5.1.2 弧度制 引入 在古典小说中，我们经常会看某人动不动就身长“七尺”，“八尺”，甚至“一丈”，而在现代，2米以上的人并不多见，何也，难道古人真的普遍比现代人高很多？对于钻石的大小，我们有时说多少多少克拉，有时又说是多少多少克；称时体重，中国人常说多少多少斤，西方人常说多少多少磅，...., 这些听起来总有些让人糊涂，原因又是什么呢？ 对于同一种量，衡量时采用是不同的单位制。 度量长度，可以用米，英尺，码，市尺等不同的单位制，度量质量也可以用千克，磅等不同的单位制. 在不同的地域，不同的场景，不同的习惯中，这样的不同单位制，往往能给解决问题带来方便。 那么角的大小是否也可以用不同的单位制呢？又能否象度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？接下来我们就来研究这个问题。 1′=60″ 因此，周角=360°，平角=180°，直角=90°。 思考1：回忆一下，在以前，角的大小我们一般用什么单位制来度量？它的规定是怎样的？ 度(°)，分(')，秒(″)的关系是： 角度制。 其基本单位是“度(°)”，其下还有“分(')”和“秒(″)” 1°=60′ 思考2：角度制下，扇形的弧长和面积公式是怎样的？ 思考3：你能说说角度制在一些场合(比如函数)的局限吗？ 我们知知道，函数是非空实数集到实数集的对应关系，而实数采用的是十进制 。为了研究周期性的变化现象，我们现在需要建立任意角的三角函数，而角度制下的角却是六十进制，也就是说，自变量的集合不满足十进制，这是与函数的定义不吻合的． 另外，很多时候，周期性现象中的变量也不都是角，有可能还有时间，位移等十进制的量，而在解决实际问题的过程中，有时需要同时应用几种不同类型的函数，也就可能出现角与实数进行运算的情况，这时，如果角仍是角度制下六十进制，那就没法进行了，而且其中的意义也不得而知。 所以，为了满足函数的定义，为了解决三角函数的适用性，迫切需要引入一种新的单位制来度量角，在这种单位制下，角最好能象实数一样进行十进制的运算，甚至可以直接和实数进行运算。 这种单位制就是弧度制. 它采用弧度作为角的单位 知识探究 结论：圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系(如比值)来度量圆心角． 弧度的单位 可以省略不写 1. “1弧度”角的定义 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角． 弧度单位用符号”rad”表示,读作弧度. 弧度制 1rad 2. 弧度的表示： (1)几何表示 (2)代数表示 返回 思考3：弧度制和角度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？ 弧度制与角度制的换算 两边同除180 两边同除π 返回 思考4：如何用弧度制表示与α终边相同的角？ 例1.(1) 按下列要求，把67°30′化成弧度： ①精确值； ②近似值(精确到0.001)。 解：① 例析 例1.(2) 按下列要求，把3.14rad化成角度： (1)精确值； (2)近似值(精确到0.001)。 解：(1) 说明： (1)若无特别要求，互化结果一般取精确值，不将π化成小数； (2)弧度单位可省略不写，如 角度制与弧度制的比较 (1)角度制与弧度制都是度量角的单位制 (2)弧度制的单位是“弧度(rad)”,1弧度角等于半径长的圆弧所对的圆心角. 用弧度表示角的大小时， 单位通常省略不写. 角度制的单位是“度(°)”,其下还有分(′)，秒（″)，1度角等于周角的1/360. 用角度表示角的大小时，单位不能省略。 (3)角度制是以“角量角”，弧度制都是以“以弧量角”, 但不论以哪种单位制来度量角，圆心角的大小都与半径大小无关． (4)弧度制的是“十进制”，角度制是“六十进制”； （5)角度与弧度的基本换算关系： 思考5：你能将角度制和弧度制作一个比较吗？ 注意： 表示角时，两种单位不能“混用”.如下列写法都是错误的: 返回 部分特殊角的角度与弧度 180°=π rad 一一对应的关系。即 每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)； 每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数). 思考6：请完成下表 思考6： 你能说说角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间的对应关系是怎样的？ 角的集合 正角 零角 负角 实数集R 正数 零 负数 对应角的弧度数 返回 轴线角和象限角的表示 (1)轴线角的表示