3.2双曲线离心率 讲义——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：双曲线离心率 ( P P H H F 2 x F 1 o y )知识点：双曲线的第二定义 1．双曲线第二定义:当动点M（x，y） 到一定点F（c，0）的距离和它到一定直线的距离之比是常数时，这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线．其中定点F（c，0）是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率．双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径． 【注1】 1．离心率是双曲线最重要的几何性质，求的离心率（或离心率的取值范围）， 常见有两种方法： （1）求出a，c，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）． 2．一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 （椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减） 【注2】焦点三角形面积： 双曲线： 设双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 【注3】第三定义 1．A,B是双曲线C:－＝1 （a>0，b>0）上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明） 2．已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则． 典型例题 例1双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 例2双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D．3 例3设双曲线的两条渐近线与圆相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为12，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． 或 D． 例4设分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 例5设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 例6已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，直线经过双曲线C的右焦点F且垂直于，设直线与，分别交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 例7已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 2 例8设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 例9 F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则C的离心率是（ ） A． B． C． D． 2 例10过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若B为线段的中点，且（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 例11设双曲线的右焦点为F，点．已知点P在双曲线C的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（ ） A． 3 B． C． 5 D． 例12点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 例13若椭圆的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 例14已知双曲线的左焦点为F，虚轴的上端点为B，P为双曲线右支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例15过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 例16已知为双曲线（，）左支上一点，，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例17已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例18已知点F为双曲线（，）的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点（点B在双曲线左支上