13.2全等三角的判定拓展模型讲义2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

全等三角形的四大模型 模型1 “一线三等角”全等模型 模型展现 基础模型 已知:点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP= BD(或AC = BP或CP=PD) 结论1:△APC≌△BDP 已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3,且 AP= BD(或 AC=BP或CP=PD) 结论2:△APC≌△BDP 怎么用? 1.找模型 当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角”全等模型 2.用模型 找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和及外角性质进行等角代换判定三角形全等 巧学巧记 简记“一线三等角,两头对应好，互补导等角，全等轻易找”. 满分技法 “—线三等角”模型常以等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、四边形(正方形或矩形或梯形)为背景,在几何综合题中考查. 结论分析 结论1:△APC≌△BDP 证明:如图,∵点Р在线段AB上， ∴ ∠APC+∠2+∠DPB=180°, 在△APC和△BDP中， ∠1+∠APC+∠C=180°,∠DPB+∠3+∠D=180°, ∵∠1=∠2= ∠3, ∴∠DPB=∠C ,∠APC=∠D， 又∵AP= BD或AC=BP或CP=PD， ∴△APC≌△BDP 结论2:△APC≌△BDP 证明:如图,点P在线段AB的延长线上, ∵∠1=∠C+∠APC,∠2=∠D+∠BPD, ∠3=∠BPD+∠APC ,∠1=∠2=∠3， ∴∠D= ∠APC ,∠CAP= ∠PBD, ∵AP=BD或AC=BP或CP=PD, ∴△APC≌△BDP 模型拓展 已知:点P在线段AB 上,∠1=∠2= ∠3,且AP= BD(或AC= BP或CP=PD) 已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2= ∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论3:△APC≌△BDP 结论4:△APC≌△BDP 拓展延伸 若题干中“一线三等角”中无对应线段相等,则为“一线三等角”相似模型(见本书P154模型49“一线三等角”相似模型). 典例小试 例1如图,在△ABC中 ,AB=AC（点拨：∠B=∠C）,点D,E,F分别在边AB ,BC,AC上,若∠B=∠DEF （点拨：∠B= ∠C=∠DEF）, ED=EF（点拨：一组边对应相等）,CF=3, 则BE的长为（ ） A.3 B.6 C.9 D. 12 考什么? 等腰三角形的性质,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质 例2 (2021陕西)如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm 的火柴棒,点A、C、E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是（ ） 考什么? 等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理 例3 (2021南充)如图, ∠BAC=90°, AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC，BE⊥AD点E，CF⊥AD于点F，求证:AF=BE. 考什么? 直角三角形的性质,全等三角形的判定及性质 思路点拨 “一线三等角”模型无论是同侧型还是异侧型,主要根据等. 角转换,得到角相等,再结合已知条件证明全等. 实战实演 1.如图,△ABC中，AC=BC，∠B=45°，A(0,4), C(-2, 0),则中点B的坐标为（ ） 2.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,BC=1,点E是BC上一点,若△ADE为等边三角形,则AB+CD的值为 . 3.△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为6,则△ABE与△CDF的面积之和为 . 4.如图①，在△ABC中,AB=AC,点D,A,E三点都在直线l上.若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α. (1)猜想并证明DE , BD,CE之间的数量关系; (2)如图②,若α= 120°,且△ACF为等边三角形,求证:△DEF为等边三角形. 模型2“半角”全等模型 模型展现 基础模型 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形 含半角 已知:∠BAC=2α，AB=AC. ∠DAE=∠BAC=α 已知:∠BDC=120°BD= CD, ∠EDF= 60° 已知:∠BAC=90°AB=AC ∠DAE=45° 旋转2a变形后 旋转120°变形后 旋转90°变形后 结论1: ①△ABD≌△ACF, △△ADE≌△AFE; ②∠ECF= 180°-2α 结论2: ①△BDE≌△CDG, △DEF≌△DGF;