精品解析：上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

交大附中2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则值为______. 2. 已知向量，满足，，．则________． 3. 设复数满足，则_______. 4. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 5. 已知，，则向量在方向上数量投影为_________． 6. 已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则___________. 7. 若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是________． 8. 点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 9. 已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________. 10. 在中，边的垂直平分线交边于，若，则的面积为________. 11. 已知单位向量夹角为锐角，对，的取值范围是，若向量满足，则的最小值为_________． 12. 已知椭圆的左右顶点为A和B，右焦点坐标为，点P为直线上一点．若外接圆的面积的最小值为，则b的值等于________． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13. 已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 14. 某人造地球卫星运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 15. 已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 16. 设双曲线右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知关于x的方程. （1）若此方程有实数根，求锐角的值； （2）求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根. 18. 已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． （1）是一个定点，求的最小值： （2）若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 19. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求的表达式： （2）在中，内角A，B，C的对边为a，b，c．若且，求面积的最大值． 20. 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线的斜率为1时，求的面积； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 设数集S满足：①任意，有﹔②对任意x，（x，y可以取相同值），有或，则称数集S具有性质P． （1）判断数集和是否具有性质P，并说明理由； （2）若数集且具有性质P． （i）当时，判断是否一定构成等差数列，说明理由； （ⅱ）若，数集B中的每个元素均为自然数且，求数集B中所有元素的和的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 交大附中2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据角的取值范围，求三角函数值，利用二倍角公式，可得答案. 【详解】解析：由，，得， 又，解得，，则. 故答案为：. 2. 已知向量，满足，，．则________． 【答案】2 【解析】 【分析】将两边平方，再将，带入等式，即可解出答案. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以， 解得. 故答案为：2 3. 设复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式变形，根据复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的计算公式求. 【详解】解：∵，∴， 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题. 4. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题表示一个圆，可得； 考点：圆的方程. 5. 已知，，则向量在方向上的数量投影为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数量投影的定义以及平面向量数量积的坐标运算可求得向量在方向上的数量投影. 【详解】因为，，则向量在方向上的数量投影为 . 故答案为：. 6. 已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由可得，整理可得，可得， 所以，，可得，因此，. 故答案为：.