4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1 课时2 无理数指数幂及其运算性质 1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程 2. 了解指数幂的运算性质 3.能进行指数幂（实数幂）的运算 学习目标 前面我们将(>0) 中指数 x 的取值范围从整数拓展到了有理数. 那么，当指数 x 是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？ 新课导入 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. 有理数指数幂 无理数指数幂 新课导入 01 无理数指数幂 不足近似值：舍而不进，按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值； 过剩近似值：进一而舍，按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1，这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值. 根据的不足近似值 x 和过剩近似值 y（表4.1-1），利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 探究 知识探究 表4.1-1 知识探究 可以发现，当的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是. 也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂 ， ， ， 和另一串逐渐减小的有理数指数幂， ， ， 逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图4.1-1表示 . 图4.1-1 知识探究 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？ 思考 （1）当的不足近似值从小于的方向逼近时， 的近似值从小于的方向逼近于同一个常数； （2）当的过剩近似值从大于的方向逼近时， 的近似值从大于的方向逼近于同一个常数. 观察可发现是一个确定的实数 总结 （1）无理数可以作为指数； （2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到. 知识探究 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(>0,为常数) 是一个确定的实数. 这样，我们就将指数幂数 (>0)中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数. 概念 无理数指数幂有什么样的运算性质呢？ 思考 02 指数幂的运算性质 网络上盛极一时的数学恒等式“<m>，</m> ，<m></m> ”形象地向我们展示了通过努力每天进步 <m></m> ，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”. [解析] <m></m> . [答案] 除了指数的范围扩大，其他没有变化. 小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步 <m></m> ，那么30天后小明的学习成果约为原来的多少倍？ 问题1 实数指数幂的运算性质与有理指数幂的运算性质有没有区别？ 问题2 知识探究 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质. 知识探究 03 当堂检测 1. 题型一　无理数指数幂的运算 关于指数幂运算的几个注意问题 (4)最后结果只能保留根式或分数指数幂的一种，分式和负指数幂的一种. (3)原式全为根式保留根式，最后结果中的负整指数幂化为分式(数). (1)题目未作说明时，都默认其中字母的取值使式子有意义； (2)运算时：①小数和分数一般统一化成分数，根式和分数指数幂一般 统一化为分数指数幂； ②注意乘法公式的应用 题型一　无理数指数幂的运算 题型二　利用已知条件求值 两边平方，得a＋a－1＋2＝9， 解：(1) ∴a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方，有a2+a-2+2=49，∴a2+a-2=47. 2. 解： 2. 题型二　利用已知条件求值 题型二　利用已知条件求值 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)整体代换法解决分数指数幂的问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 04 课堂小结 1.无理数幂函数的含义？ 2.实数指数幂的运算性质？ 3.指数幂的运算性质化简求值； 4.指数幂的运算性质条件求值. 你通过本节课的学习： 课堂小结 谢谢观看！ $$