精品解析：上海市实验学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题

上海实验中学2023学年第一学期高一年级数学期中 一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分） 1. 若、是一元二次方程的两根，的值为_________． 2. 若，则_________． 3. 已知集合，且，则的取值为______. 4. 陈述句“、、全为”的否定形式为__________． 5. 已知集合有且仅有两个子集，则实数________ 6. 已知,且，则的最小值为__________ 7. 某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人． 8. 若关于x不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________． 9. 已知，若．则的取值范围是____________． 10. 设为正实数，若则的取值范围是__________． 二、选择题（共16分，每小题4分） 11. 若，则有 A. B. C. D. 12. 集合且，则m的个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 13. 已知集合﹒已知，命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤） 15. （1）已知，，用、表示﹒ （2）已知，求的值． 16. 解关于x的不等式． 17. 已知集合﹐集合且. （1）若，全集为实数集，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）命题“若，则”是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知，函数． （1）当时，若对任意都有，证明：； （2）当时，证明：对任意的充要条件是； （3）当时，讨论：对任意充要条件． 四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤） 19. 设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ （1）令，用a、b表示 （2）求的最小值． 20. 设，而为S一个8元子集．求证： （1）存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； （2）对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海实验中学2023学年第一学期高一年级数学期中 一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分） 1. 若、是一元二次方程的两根，的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 2. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 3. 已知集合，且，则的取值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】 由，可知，所以或，即或，再验证排除不符合的即可得到答案. 【详解】由，可知，所以或，即或. 当时，，不满足集合的互异性，所以不成立； 当时，，，满足，所以成立； 故答案为：3 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合交集结果求参数，一定要注意集合中的元素具有三个性质：互异性，确定性，无序性；所以算出来或时，要代入集合检验, 4. 陈述句“、、全为”的否定形式为__________． 【答案】、、不全为 【解析】 【分析】直接对陈述句进行否定即可. 【详解】陈述句“、、全为”的否定形式为“、、不全为”. 故答案为：、、不全为. 5. 已知集合有且仅有两个子集，则实数________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于 的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围. 【详解】因为有且仅有两个子集，所以中只有一个元素， 所以有且仅有一解.(1)当时, ，符合题意，(2)当时, ,即，综上,得或. 故答案为： 或. 【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用. 6. 已知,且，则的最小值为__________ 【答案】9 【解析】 【分析】把“1”换成，整理后积为定值，然后用基本