解三角形中的最值问题题型训练-2024届高三数学一轮复习

解三角形中的最值问题 题型一：已知一边及该边所对应的角 2 题型二：已知一边及非该边所对应的角 5 题型三：中点或几等分点问题 7 题型四：隐圆（阿氏圆） 9 题型五：其它最值题型：（均值.求导.二次型函数等） 10 解三角形中的最值问题 知识储备： 1.均值不等式； 2.辅助角公式： 3.二倍角公式： 4.降幂公式： 5.三角换元： 6.圆的第二定义（阿氏圆） 题型一：已知一边及该边所对应的角 例1：在三角形ABC中，若A=60，a=2 （1） 求三角形面积的最大值（用2种方法解答） （2） 求周长的取值范围（用2种方法解答） （3） 求xb±yc的最大值 （4） 求的取值范围 （5）的取值范围 （6）在锐角三角形中求取值范围问题 1．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 2．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （1）求B； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值. 3.若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是__ 4．已知函数，其中，，， （1）求的最小正周期和对称中心； （2）在中，，，分别是角，，的对边，若，，求的取值范围． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)设，若的外接圆半径为4，且有最大值，求m的取值范围． 温馨提示:例1的通法是把问题化简到同一个角同一个函数的形式，例如A）+b 变式1．在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中， 问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______． (1)求角B﹔ (2)求的范围． 变式2： 在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是_____． 题型二：已知一边及非该边所对应的角 1.的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 2．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足_______（填写序号即可） (1)求B﹔ (2)若，求的取值范围． 3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 5. 请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围. 题型三：中点或几等分点问题 1.在三角形ABC中，若A=60，D为BC中点，AD长等于2 （1） 求三角形面积的最大值 （2） 若把D为BC中点改为D为靠近B的三等分点，求三角形面积的最大值 2. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1），时，求CD的长度； （2）若CD为角C的平分线，且，求的面积． 3．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 温馨提示: 1. 会余弦定理的推导过程（向量法） 2. 遇见几等分点问题想到用向量 习题巩固： 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求面积的最大值． 2在中，内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）设点是的中点，若，求的取值范围． 3．从①②③中选择一个条件补充到题目中：①， ②，③， 解决下面的问题． 在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且______． （I）求角A； （II）若D为边AB的中点，，求b+c的最大值． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)求角C； (2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值. 题型四：隐圆（阿氏圆） 1. 三角形ABC中，AB  2且 AC  2BC，则三角形 ABC面积的最大值为__________ （用2种方法解答） 2．如图，在中，D，E在BC上，，，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 题型五：其它最值题型：（均值，求导，二次型函数等） 1．若△ABC的内角满足，则的最小值是_____． 2．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．                     3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 4．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为