精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

东昌中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 2. 已知两点、，则过点、的直线的倾斜角为______． 3. 双曲线的离心率是___________. 4. 求直线与直线的夹角为________. 5. 方程表示圆，则实数a取值范围为______． 6. 椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于两点，则的周长为________； 7. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为______． 8. 抛物线焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为______． 9. 设F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，，则△的面积为___________. 10. 已知直线y＝x＋1与椭圆（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值等于_______． 11. 已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为______. 12. 如图，在平面四边形中，点，是椭圆短轴的两个端点，点在椭圆上，，记和的面积分别为，，则______. 二、选择题（共18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 15. 离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆和，则和哪个图形更为扁平（ ） A B. C. 相同 D. 无法判断 16. 对于曲线C：，给出下列命题：（1）曲线关于原点中心对称；（2），；（3）曲线C恒在直线的上方；（4）对于曲线上任意两点，，都有；（5）直线与曲线C最多有两个不同的公共点．则其中真命题的个数为（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（共78分，12+14+16+18+18） 17. 已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 18. 已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 19. 某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列． （1）种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ （2）能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． （3）有多少株树苗沿PB运输较近？ 20. 已知椭圆：，为的左、右焦点. （1）求椭圆的焦距； （2）点Q为椭圆一点，与OQ平行的直线l与椭圆交于两点A、B，若△QAB面积为1，求直线l的方程； （3）已知椭圆与双曲线：在第一象限的交点为，椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线C.若点N是曲线C上一动点，求的取值范围. 21. 设抛物线：的焦点为F，经过x轴正半轴上点的直线l交于不同的两点A和B． （1）若，求A点的坐标； （2）若，求的值； （3）若，且直线，与有且只有一个公共点E，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东昌中学2023学年第一学期高二年级数学期中 202311 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 2. 已知两点、，则过点、的直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则，所以，. 故答案为：. 3. 双曲线的离心率是___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由