7.2 三角函数概念（十六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7.2 三角函数概念 课程标准 学习目标 （1）通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． （2）能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，提升逻辑推理素养. （3）借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式，提升直观想象和数学抽象素养. （1）通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. （2）借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. （3）根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式； （4）理解诱导公式的推导过程. 知识点01 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点诠释： （1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 【即学即练1】（2023·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 【即学即练2】（2023·高一课时练习）已知是第二象限角，则（　　） A． B． C． D． 知识点03 单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段． 知识点诠释： 三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 【即学即练3】（2023·高一校考课时练习）利用三角函数线比较大小 (1)与； (2)与； (3)与. 知识点04 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 【即学即练4】（2023·新疆和田·高一校考阶段练习）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为 知识点05 诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【即学即练5】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值. 题型一：三角函数的定义 例1．（2023·高一课时练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·贵州遵义·高一校联考阶段练习）已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·江西抚州·高一统考期末）若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·四川成都·高一统考期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·安徽芜湖·高一校联考期中）已知角的终边过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距