第一章数列章节测试-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章 数列 章节测试 一、单选题 1．已知等比数列的前项和为，满足，公比，则（    ） A．32 B．31 C．17 D．16 2．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ） A．若有最大值，则数列的公差小于0 B．若，则使的最大的n为18 C．若，，则中最大 D．若，，则数列中的最小项是第9项 3．数列中，，对任意正整数都满足，数列，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，若，，则中，最大的项为（    ）． A． B． C． D． 5．已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 6．设数列满足，，通过求，猜想的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列，…，则该数列的第200项为（    ） A．10 B．10 C．10 D．10 8．等差数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．3 B． C．5 D． 二、多选题 9．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则k的可能取值为（    ） A．2 B． C． D． 10．已知数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（   ） A．为等差数列 B．为递减数列 C． D．成等差数列 12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．等比数列中，若，则． （判断对错） 14．已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则的最小值是 . 15．在等差数列中，，其前9项的和 16．在等比数列中，已知，，则此数列的公比为 ； 四、解答题 17．已知数列的前项和为，若，且满足（）. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 18．在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群： 类别 特征 S类（Susceptible） 易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群． I类（Infectious） 感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群． R类（Recovered） 康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有限，可能重新转化为S类人群． 在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为，，．其中第1天，，．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定： S类→I类占当天S类比例 I类→R类占当天I类比例 R类→S类占当天R类比例 (1)已知对于传染病A有，，．求，； (2)已知对于传染病B有，，． （Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得是等比数列； （Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B． 19．已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)试求所有的正整数，使得为整数. 20．已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足. ①若，求证：数列是等差数列； ②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项. 21．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 22．我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设绿洲面积为万平方千米，第年绿洲面积为万平方千米. (1)求数列的通项公式； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过（参考数据：）？ 参考答案 1．B 【分析】根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出的值. 【详解】因为，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的基本运用，难度较易.等比数列的求和公式：. 2．B 【分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC； ，得，， 可判断D. 【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项， ∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确； 对于选项B，∵，且， ∴，， ∴，， 则使的最大的n为17，故选项B错误； 对于选项C，∵，， ∴，， 故中最大，故选项C正确； 对于选