3.5.1 圆锥曲线中的三角形面积-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线中的三角形面积 圆锥曲线中三角形面积的求法 ① 焦点三角形面积 椭圆的焦点三角形面积， 双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上). ② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 情况1如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为， 当是在轴异侧时， . 当是在轴同侧时， . 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似) 【典题1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点， 且．若的面积为，则离心率 . 【典题2】已知直线与双曲线:的两条渐近线分别交于 两点，且，若且的面积为则的离心率为 . 巩固练习 1(★) 如图，椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为(　　) A． B． C． D． 2(★★)设双曲线：，的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且，若的面积为4则(　　) A． B． C． D． 3(★★) 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 . 4(★★) 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线的渐近线于点为坐标原点，则的面积为 . 5 (★★) 抛物线：的焦点为为准线上一点，为轴上一点，且，若线段的中点在抛物线上，则的面积为 . 【典题3】已知双曲线的离心率为焦点到渐近线的距离等于过右焦点 的直线交双曲线于两点为左焦点． 求双曲线的方程； 若的面积等于求直线的方程． 【典题4】过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且． 求抛物线的方程； 直线交抛物线于两点，且这两点位于轴两侧，与轴交于点若•求的最小值． 【典题5】 已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为的中垂线交轴于点 求椭圆的方程；求的面积的最大值. 巩固练习 1 (★★) 已知为抛物线：的焦点，过且倾斜角为直线交于两点，为坐标原点，则的面积为(　　) A． B． C． D． 2 (★★)设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为　 　． 3 (★★)已知椭圆是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点． (1)求该椭圆方程； (2)过点且倾斜角等于的直线交椭圆于两点，求的面积． 4(★★) 已知抛物线上的点到焦点的距离为4． (1)求的值； (2)设抛物线的准线与轴的交点为，是否存在过点的直线交抛物线于两点(点在点的右侧)，使得直线与直线垂直？若存在，求出的面积，若不存在，请说明理由． 5 (★★★) 椭圆过点离心率为左、右焦点分别为 过的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程；(2)当的面积为时，求直线的方程． 6 (★★★) 如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积． 7 (★★★) 已知点为抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线交于． (1)求证：三点的纵坐标成等差数列； (2)若，其中为定值，求证：的面积的最大值为． 8(★★★)已知椭圆：1的左右焦点分别为，F2，点是椭圆上一点，以为直径的圆：过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率大于的直线与的另一个交点为，与直线的交点为，过点(3，)且与垂直的直线与直线交于点，求面积的最小值． 9(★★★★) 已知双曲线的一个焦点为且过点．如图为双曲线的左、右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴轴分别交于点()、，设过点的直线与交于两点． (1) 求的标准方程；(2) 求的面积最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线中的三角形面积 圆锥曲线中三角形面积的求法 ① 焦点三角形面积 椭圆的焦点三角形面积， 双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上). ② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 情况1如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为， 当是在