专题强化四：数列求和常考方法题型归纳-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题强化四：数列求和常考方法题型归纳 【考点梳理】 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－.②＝.③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 【题型精练】 题型一、分组（并项）法求和 1．（2023下·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 2．（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足求． 3．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知等差数列前n项和为，数列是等比数列，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和． 题型二、倒序相加法求和 4．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 5．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 6．（2022下·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 题型三、错位相减法求和 7．（2023上·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：. 8．（2023上·山西运城·高三统考期中）已知递增的等差数列满足，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前项和. 9．（2023上·江苏泰州·高三姜堰中学校考期中）已知数列满足，其前5项和为45；数列是等比数列，且，，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前和. 题型四、裂项相消法求和 10．（2024上·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的首项为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，，求数列的前项和. 11．（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 12．（2023上·福建·高二统考期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对于任意的，都有恒成立，求满足条件的最小正整数的值． 题型五：数列求和的其他方法 13．（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 14．（2023上·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考开学考试）已知数列中，关于的函数有唯一零点，记． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求； (3)求证：； 15．（2022·广东佛山·统考三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足． (1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 专题训练 一、单选题 16．（2023·吉林长春·统考一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（    ） A．15 B．30 C．60 D．120 17．（2023上·天津河东·高三统考期中）设等差数列的前项和为，数列的前和为，已知，，，若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 18．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（     ） A．12 B．21 C．11 D．31 19．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最小项； 其中所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D