第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．数列满足，且则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解. 【详解】由题意，数列满足，且， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 2．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 3．已知数列的前n项和为，满足，则（    ） A．4043 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由关系求的通项公式，进而求. 【详解】由知：为等差数列， 又，，则公差， 所以，故， 则，可得，而也满足， 所以，则. 故选：A 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，可得答案. 【详解】∵，，， ∴数列是首项为，公比为4的等比数列， ∴， 当时， ， ∵n＝1时，，∴， ， 故选：D. 5．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．28 B．32 C．16 D．24 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解 【详解】由等差数列前n项和的性质， 可得，，，成等差数列， ∴，解得. ∴ 2，6，10，成等差数列， 可得，解得. 故选：B 6．已知数列满足，则数列的前5项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，得到，利用裂项相消法求和. 【详解】因为， 所以. 所以前5项和为 故选：D 7．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项， 所以， 对称轴为， 由于对任意的恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解. 8．已知数列满足：，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和递推关系式可知，可将递推关系式变形为；令，为的前项和，可知为递减数列，知，借助的范围可得的范围，结合等比数列求和公式可求得的范围，由可得结果. 【详解】，，…，依次类推，则； 由得：， ， ， 令，为的前项和，， 又，为递减数列，即为递减数列，， （当且仅当时取等号）， ， ，，， ，即，， ，， ，. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合应用问题；解题关键是能够将递推关系式进行变形，得到，并结合递推关系式和数列的单调性得到的范围，从而进行放缩运算，借助等比数列求和公式来求解. 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数㩆乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（    ） A．当时， B．当时， C．当为奇数时， D．当为偶数时，是递增数列 【答案】