圆锥曲线计算专题练习-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线计算过关 学校 班级 姓名 一、填空题 1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则 ． 2．若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围． 3．若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 ． 4．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为 5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条． 6．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 7．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 . 8．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 . 9．抛物线截直线所得弦长等于 . 10．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 二、双空题 11．双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 . 12．已知双曲线的离心率为，则 ，若直线与该双曲线有且仅有一个公共点，则 . 13．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p= ；弦AB的长为 . 14．若直线过点且与直线平行，是抛物线上的任意一点，则点到直线的最短距离是 ，此时点的坐标为 . 15．双曲线的渐近线为 ；若直线与双曲线仅有一个公共点，则 ． 三、解答题 16．已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程． 17． 判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标． 18． 已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围． 19． 判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长． 20．已知x，y满足，求的最值． 圆锥曲线计算过关答案 一、填空题 1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】将直线方程与椭圆方程联立后可得韦达定理的结论，结合韦达定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程得：右焦点，则直线方程为：， 由得：，则， ，， . 故答案为：. 2．若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由直线恒过定点，根据题意得到满足点在椭圆上或在椭圆的内部，列出不等式，结合椭圆标准方程的形式，即可求解. 【详解】由题意，直线恒过定点， 要使得直线与椭圆恒有公共点， 则满足点在椭圆上或在椭圆的内部，即，解得， 又由椭圆的方程，满足， 所以实数的取值范围为. 3．若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 ． 【答案】 【分析】把直线的方程与椭圆的方程联立，有且只有一个公共点，由解出m的范围. 【详解】直线的方程与椭圆的方程联立， 消去，得 ①. 方程①的判别式. 因为直线l与椭圆C有唯一公共点． 则，解得. 故答案为：. 4．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为 【答案】 【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以， 因为，两式作差得，即， 即，所以，， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时直线方程联立抛物线方程消元，对二次系数讨论，结合判别式求解可得. 【详解】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意． ②当斜率存在时，设直线方程为． 联立得， 当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意； 当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意． 综上共有3条直线． 故答案为：3    6．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【答案】或 【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得. 【详解】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也