空间向量计算过关专题练习-2024届高三数学一轮复习

空间向量计算过关 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、填空题 1．在空间直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，则 . 2．已知，则 . 3．已知，1，，，0，，则 ． 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ． 5．已知在一个的二面角的棱上，如图有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为 6．已知点，，，且为直角，则的值为 . 7．已知向量，且与垂直，则 ． 8．在长方体中，设，，则 ． 9．在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E为中点，则异面直线BE和所成角的余弦值为 . 10．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是 ． 二、双空题 11．空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是 ， . 12．已知空间的个基底，若，共线，则 ， . 13．已知向量，，若，则 ，若，则 ． 14．已知空间向量，，则 ， . 15．正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为 ；与对角面所成角的正弦值是 ． 三、解答题 16．已知，，．求： (1)； (2)． 17．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 18．已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19．已知，求： （1）线段的中点坐标和长度； （2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件. 20．如图所示，已知三棱台中，平面平面，是正三角形，侧面是等腰梯形，，为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 空间向量计算过关答案 一、填空题 1．【答案】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标计算公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以，故答案为： 2．【答案】【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】,所以，故答案为： 3．【答案】【分析】利用平面向量坐标运算公式求出，由此能求出． 【详解】，，， ．故答案为：． 4．【答案】【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：. 5．【答案】 【分析】由题意，利用向量法即可求出的长. 【详解】解：在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且， ，， 所以CD的长为，故答案为：． 6．【答案】2【分析】根据，代入计算即可得到答案. 【详解】因为为直角，则，又因为，， 则有，解得，故答案为：2. 7．【答案】【分析】根据与垂直列方程，化简求得的值. 【详解】，由于与垂直， 所以.故答案为： 8．【答案】1【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可． 【详解】如图所示， 在长方体中，设，， 则 .故答案为：1. 9．【答案】【解析】由平面ABCD，ABCD为正方形，可以以D为原点，为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线BE和所成角的余弦值. 【详解】因为在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为正方形， 所以可以以D为原点，为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设,则 所以设异面直线BE和所成角为， 则. 即异面直线BE和所成角的余弦值为.故答案为： 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算. 10．【答案】垂直 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算以及数量积，即可求解. 【详解】由题意，得，所以，即．故答案为：垂直. 二、双空题 11．【分析】依据题意对称性以及空间两点之间的距离可得结果. 【详解】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变， 纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即； ②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得.故答案为：①；② 【点睛】本题考查空间的点的对称性以及空间两点之间的距离，考查对公式的识记以及空间想象能力， 12．【答案】 1 【分析】由，共线，∴，使，得到对应的方程组，求出答案. 【详解】∵，共线，∴，使， ∴，得解得故答案为：1， 【点睛】本题考查空间向量共线的应用，属于基础题. 13．【答