齐次式解决双斜率问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

齐次式解决双斜率问题 齐次式：各个单项式的次数相同的多项式式子; 齐次方程：方程中所有非零项的未知数的次数相同. 总述：在圆锥曲线中，有一类题目：它们都有一个定点，同时会往往出现两斜率的乘积的关系式，题目的设置往往是证明直线过定点，或是证明斜率的关系为定值，此类题目我们往往采用齐次式解决. 1、 证明直线过定点 例1：椭圆C:+y2=1，C(0，1)，设直线l不过点P，且与C交于A、B两点，若kPA+kPB=1，证明：直线l过定点. 直接把定点的横纵坐标带进圆锥曲线方程中即可 解：将C往下平移一个单位，得到C1：+(y+1)2=1 即x2+4y2+8y=0① P1(0,0) 设平移后的l为l1 l1不过原点 设l1：nx+my=1② 把②带进①得：x2+(4+8m)y2+8nxy=0 两边同除x2得：(4+8m)()2+8n+1=0 则kPA、kPB分别是上述方程的两个根 则kPA+kPB=-1 则8n=4+8m 即2n=1+2m n=m 带回直线方程：(x+y)m1=0 过定点（2，-2）求出来的定点横纵坐标分别直接加上原定点的坐标即可 则在原坐标系中，直线l过定点（2，-1） 2、 求证斜率关系为定值 例2：已知抛物线E：x2=2y，C(0,2) ，直线l:y=kx+2与C交于A、B两点，求证：KCAKCB+K2为定值. 解：将E向上平移两个单位，以为原点建系 则E1：x2=2(y2) ① 易知AB不过原点C1 设AB：mx+ny=1② 把②带入①得：x2-2y(mx+ny)+4(mx+ny)2=0 即(1+4m2)x2+(8mn2m)xy+(4n22n)y2=0 两边同除x2得：(4n22n)()2(8mn2)1+4m2=0 根的关系：KCAKCB K= 因AB在新系中过定点（0，4） 带入②得：n 则KCAKCB+K2+(2416m2+16m2=4 即KCBKCA+K24. 课后练习： 1、 ：已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点. （第1题图） （第2题图） 2、已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于两点，证明：直线斜率为定值. 答案： 1、解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示： 旧坐标 新坐标 即 所以 原来则转换到新坐标就成为： 设直线方程为： 原方程：则转换到新坐标就成为： 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则 所以所以 而对于任意都成立. 则：，故对应原坐标为所以恒过定点. 2、解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示： 旧坐标 新坐标 即 所以 原来则转换到新坐标就成为： 设直线方程为： 原方程：则转换到新坐标就成为： 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则 所以所以 而.所以 平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$