6.4～6.5 平行与垂直（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（苏科版）

突破6.4－6.5 平行与垂直 【知识点一、平行线的定义及画法】 1．定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 特别说明： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个 内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段 并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地， 直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ① ：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ② ：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③ ：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④ ：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点二、基本事实】 基本事实1、经过直线外一点，有且只有 直线与这条直线平行． 基本事实2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ． 特别说明： (1) “经过直线外一点”，而非直线上的点； (2) 公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一； (3) 基本事实2也称之为平行的传递性. 【知识点三、垂线的定义及画法】 垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 ． 特别说明： (1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 【知识点四、垂线的性质及距离问题】 垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．简单说成：垂线段最短． 特别说明： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 ． 特别说明： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． (一)平行与垂直的位置关系 例1．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【变式训练1－1】如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【变式训练1－2】如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1－3】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有 条．    【变式训练1－4】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ． 【变式训练1－5】已知和的两边分别互相垂直，且比的2倍少，求的度数 ． 【变式训练1－6】如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？ (二) 平行线与垂线的绘制 例2．如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）    ①画的平分线交线段于点D； ②过点C画的平行线交射线于点E； ③过点E作的垂线段，垂足是F． 【变式训练2－1】如图，在由相同小正方形组