专题6.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题6.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型） 【题型1：8字型】 【题型2：反8字型】 【题型3：平行类A字型】 【题型4：不平行A字型】 【题型5：直角三角形中射影定理】 【题型6：非直角三角形中射影定理】 【题型1：8字型】 【基本模型】 【典例1】如图所示，点P是▱ABCD的边DC的延长线上一点，连结AP分别交BD、BC于点M、N． （1）图中有 　　对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． （2）求证：AM2＝MN•MP． 【变式1-1】如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3cm，则CD的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1-2】如图，在▱ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①；②；③；④；⑤CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-4】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD的长是（　　） A． B． C． D．6 【变式1-6】如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE＝1：2，若S△AEF＝3，则S△CDF＝（　　） A．27 B．18 C．9 D．3 【变式1-7】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为 　　． 【变式1-8】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P是AD上一点，AP＝2，连接BP与AC相交于点Q，则CQ的长为 　　． 【变式1-9】如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E． （1）求证：△AEF∽△DCF； （2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝． ①求AB的长； ②求△EBC的面积． 【题型2：反8字型】 【基本模型】 【典例2】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（2023•巴南区开学）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝3：1，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春•东莞市期中）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式2-3】（2023春•滑县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．50° 【变式2-4】（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（　　） A．4 B．8 C． D． 【变式2-5】（2023•郁南县校级模拟）视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离l1＝5米，此时字母E的高度为b1米．由于场地有限，需要缩小测试距离为l2＝3米，修改后视力表字母E的高度为b2米，则b1与b2的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】（2023•锦江区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比为 　　． 【变式2-7】（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点F在CD边上，延长AD到点E，使得DE＝DF，连接CE． （1）求证：△ADF≌