专题6.2 相似三角形重难点模型（2）（2大模型5种题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题6.2 相似三角形重难点模型（2）（2大模型5种题型） 【题型1：一线三等角-标准“K”型图-】 【题型2：一线三等角-做辅助线构造“K”型图】 【题型3：一线三等角-特殊“K”型图】 【题型4：手拉手模型-有公共顶点的直角三角形】 【题型5：手拉手模型-有公共顶点的任意三角形】 【模型1】 1. 如图，∽（一线三等角） 如图，∽（一线三直角） 如图，特别地，当是中点时：∽∽平分，平分。 2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。 【模型2】 类型一：有公共顶点的直角三角形 类型二：有公共顶点的任意三角形 【题型1：一线三等角-标准“K”型图】 【典例1】（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA＝3，OC＝4，将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（ 0＜α＜180° ）得到矩形ODEF． （1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标； （2）当点D恰好落在矩形OABC的对角线上时，求点E的坐标； （3）在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若 ，请直接写出点N的坐标． 【变式1-1】（2022秋•武侯区期末）为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF） 【变式1-2】（2023春•淄博期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB． 【变式1-4】在△ABC与△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，点D在△ABC的边BC上，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）证明推断：如图1，当∠ACB＝45°时， ①求证：△ABD≌△DFE； ②推断：＝　　； （2）类比探究：如图2，当∠ACB≠45°时，设，试探究BD与CF的数量关系，并证明你的结论； （3）学以致用：在（2）的条件下，连接CE，设DE与AC相交于G，若k＝2，AB＝4，，求CG的长． 【题型2：一线三等角-做辅助线构造“K”型图】 【典例2】（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE． （1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE； （2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为 　　；（直接写出） （3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B； （1）求证：AB•CM＝BP•PC； （2）当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度． 【变式2-2】问题提出： （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．求证：△BDA∽△CED； 问题探究 （2）如图2，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，若AB＝3，AD＝5，求DE的长； 问题解决 （3）如图3，菱形ABCD是一座避暑山庄的平面示意图，其中∠BAD＝60°，AB＝120米，现计划在山庄内修建一个三角形花园AP，点P、Q分别在线段BC、CD上，根据设计要求要使∠APQ＝120°，且AP＝3PQ，问能否建造出符合要求的三角形花园APQ，若能，请找出点P、Q的位置（即求出DQ与BP的长），若不能，请说明理由． 【题型3：一线三等角-特殊“K”型图】 【典例3】（2023•武昌区模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△C