第三章 圆锥曲线的方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．椭圆的性质（共8小题） （多选）1．（2023秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：x2+y2＝a2+6于M，N两点，下列结论正确的是（　　） A．实数a越大，椭圆C越圆 B．若PF1⊥PF2，且|OP|＝|PM|，则 C．当a＝2时，过F1的直线l1交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则l1的斜率 D．若|PF1|⋅|PF2|＝6，则|PM|•|PN|＝9 （多选）2．（2023•菏泽二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（　　） A．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝3 B．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为 C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6 D．△AOB的面积的最小值为，最大值为 （多选）3．（2023秋•道县校级月考）椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点F2．一束光线从F1射出，经椭圆镜面反射至F2，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．则下列说法正确的是（　　） A．椭圆的标准方程为 B．若点P在椭圆上，|BP|的最大值为 C．若点P在椭圆上，则∠F1PF2的最大值为 D．过直线y＝x+1上一点M分别作椭圆切线，交椭圆于P，Q两点，则直线PQ恒过定点（﹣4，1） （多选）4．（2023秋•荔湾区校级期中）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：的蒙日圆为C：x2+y2＝，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（　　） A． B．△MPQ面积的最大值为 C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为 D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则 （多选）5．（2023秋•信州区校级月考）已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，若P为椭圆C上一动点，记△PF1F2的内心为I，外心为M，重心为G，且△PF1F2内切圆I的半径为r，△PF1F2外接圆M的半径为R，则（　　） A．∠F1PF2的最大值为 B．r的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 6．（2023秋•武汉月考）已知椭圆，抛物线．若C1，C2的公共弦同时经过C1的右焦点和C2的焦点，则＝　 　． 7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为 　 　． 8．（2023秋•皇姑区校级月考）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点（，） （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若OP⊥OQ，证明：点O到直线PQ的距离为定值． 二．直线与椭圆的综合（共2小题） （多选）9．（2022秋•龙凤区校级期末）已知，令，则L取到的值可以有（　　） A． B． C． D． 10．（2023•陕西模拟）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值． 三．抛物线的性质（共4小题） 11．（2023秋•大同月考）已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（﹣2，0），过F斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且，若Q是抛物线上任意一点，且，则λ+μ的最小值是（　　） A．0 B． C． D．1 （多选）12．（2023秋•高邮市月考）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为A1，B1，O为坐标原点，则（　　） A．以AB为直径的圆与准线l相切 B．△OAF可能为正三角形 C． D．记△AA1F，△A1FB1，△FB1B的面积分别为S1，S2，S3，则 13．（2022秋•香洲区校级期末）