4.6利用相似三角形测高（讲+练，三大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

4.6利用相似三角形测高 ( 学习目标： 1. 2.. 3.. 重点： . 难点： . ) ( 学习目标： 1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决 一些物 本的长度和高度. 2.通过把一些实际问题转化成与相似三角形有关的数学问题，从而帮助学生进一步熟悉转化的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心. 重点： 运用三角相似的知识获得不能直接实际问题，即如何把实际问题转化为数学问题. 难点： 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即 如何实际 问题转化为数学问题. ) 知识点一 利用影子测量物体的高度 1.测量原理： 测量较难直接测出高度的物体，在有太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、被测物高及其影长构造成相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的原理解决. 2.测量方法： 在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理计算出被测物体的高度. 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： 1．被测物体的底部能够到达； 2．由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. 即学即练如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 知识点二 利用标杆测量物体的高度 1. 测量原理: 用标杆与被测物体平行构造相似三角形. 2. 测量方法: (1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度； (2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚与标杆底端间的距离以及与被测物体底端间的距离； (3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出被测物体的高度. 特别提醒： 利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部可以直接到达. 即学即练如图所示，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同． (1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ (2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测量距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l2应为多少？ 知识点三 利用镜子的反射测量物体的高度 1. 测量原理: 利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度. 2. 测量方法: (1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记； (2)测出观测者眼睛到地面的高度； (3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离； (4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出被测物体的高度. ( 特别提醒 : 1测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置 . 2利用物理学中的 “反射角等于入射角” 及“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 . 解题时要找到一对对应相等的锐角，创造相似条件 . ) 即学即练 如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度. 题型一 利用影子测量物体的高度 例1（2020上·洛阳·阶段练习）学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 举一反三 1-1. （2019·课时练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 1-2. （2021上·泰安·期末）小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米． 1-3. （2018上·青岛·课时练习）测量物体高度 小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根长为米的竹