专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(华东师大版）

专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 1 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 11 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 19 【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】 25 【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】 29 【考点六 新定义型二次函数——反碟长抛物线】 34 【考点七 新定义型二次函数——月牙线抛物线】 41 【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 46 【典型例题】 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 例题：如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线． （1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　 　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　 　． （2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）； （3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； （4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式． 【变式训练】 1．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标； 2．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线． (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ） ②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ） ③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ） (2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式； (3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长． 3．如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线． (1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______； (2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式； (3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______． 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 例题：．定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”． （1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式； （2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”； （3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围． 【变式训练】 1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________． 【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为． ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点． 【拓屐应用】 （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，． ①若，且四边形为正方形，求m的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值． 2．定义：若两条抛物线的对称轴相同，则称这两条抛物