3.5.3 圆锥曲线定点问题-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线定点问题 1 定点问题的含义 其实我们早已接触过了定点问题 ① 二次函数过定点， 理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点； ② 指数函数过定点， 理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点； ③ 对数函数过定点； 理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点； ④ 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为； 那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线 簇”，但过定点，与的取值无关； ⑤ 圆，由于的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过 定点，与的取值无关. Eg：曲线恒过定点 . 解 从数的角度分析，， 即当取什么值时，不管取任何值方程均成立， 故由，解得或， 所以曲线恒过定点 2 求定点问题的方法 ① 方程恒成立法 先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立； Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标. 证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化， 若直线恒过一定点，即不管取任何值，该点都在直线上， ； 不管取任何值，方程恒成立， 只有，同时成立才行，解得 故恒过定点. 点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题； ② 特殊值法 通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件. Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标. 证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化， 当时，直线：； 当时，直线：； 由，解得，即直线与直线的交点为， 若直线：恒过某一定点，则该点只能是， 显然满足直线方程，即点在直线上； 故直线恒过定点. 点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线. ③ 几何法 通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律. 注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路. 【题型一】求某直线(或曲线)过定点 【典题1】 是抛物线上的两点，且求证：直线经过一个定点. 【典题2】已知椭圆，直线过的右焦点． 当时，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的倍． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得当变化时，总有 ∠∠为坐标原点)？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【典题3】如图等边三角形的边长为，且三个顶点均在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点． 巩固练习 1(★★) 如图，在抛物线的准线上任取一点(异于准线与轴的交点)，连接延长交抛物线于过作平行轴的直线交抛物线于则直线与轴的交点坐标为(　　) A．与P点位置有关 B． C． D． 2(★★) 已知抛物线：上横坐标为的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率分别为且，证明：直线经过定点，求出定点的坐标． 3(★★★) 已知，点P满足，记点的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹交于两点．无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值． 4(★★★)已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线过点，问在x轴上是否存在定点使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 5(★★★) 已知抛物线：的焦点为倾斜角为的直线过点与抛物线交于两点的面积为(为坐标原点)． (1)求； (2)设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦如果证明直线过定点，并求出定点坐标． 【题型二】某动点在定直线(或曲线)上 【典题1】设椭圆：的焦点在轴上，设分别是椭圆的左、右焦点为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点并且证明：当变化时，点在某定直线上． 巩固练习 1(★★) 已知椭圆的右焦点为离心率为．设为椭圆上关于原点对称的两点的中点为的中点为若原点在以线段为直径的圆上．证明点在定圆上； 2(★★) 设椭圆：的焦点在轴上，设分别是椭圆的左、右焦点为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点并且证明：当变化时，点在某定直线上． 3(★★★) 已知椭圆离心率为点分别为椭圆的左、右顶点点分别为椭圆的左、右焦点．过点任作一条不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程． (2)若直线交于点，试判断点是否在某条定直线上．若是，求出的值；若不是，请说明理由． 4(★★★)在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为． (1)求的值； (2)当过点的动直线与椭圆交于不同的点时，在线段上取点使得，问：点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由． 5(★★★)