3.5.2 圆锥曲线最值问题-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线最值问题 1 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径. ② 圆上点到圆外直线的距离 圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离； ③三点共线模型 一动点到两定点的距离分别为， 当共线，且点在之间时，取到最小值； 当共线，且点在同侧时，取到最大值； 其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ④ 将军饮马模型 点在直线同侧，点在直线上，那； ⑤垂线段最值模型 点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为． (1) 点是外， (2) 点是内， ⑥ 胡不归模型 如图，求，构造射线，使得角度，则，问题转化为“垂线段模型”，则. ⑦ 阿氏圆模型 如图，圆半径是，点在圆外，点是圆上一动点，已知，求的最小值. 在线段上截取，则，即， 则的最小值转化为的最小值，当然是，即. 2最值问题常见处理方法 ① 几何法 通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型. ② 代数法 理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值. 【方法一】几何法 【典题1】 已知椭圆：内有一点为椭圆的左、右焦点为椭圆上的一点，求： 的最大值与最小值；的最大值与最小值． 【典题2】 设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则　 ． 【典题3】 已知双曲线方程为如图，点的坐标为是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为 . 巩固练习 1(★★) 已知抛物线的焦点为定点在此抛物线上求一点使最小，则点坐标为(　　) A． B． C． D． 2(★★) 已知点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，则的最小值是　 　． 3(★★) 已知是双曲线的左焦点是双曲线外一点是双曲线右支上的动点，则的最小值为　 　． 4(★★) 已知是椭圆1内的点是椭圆上的动点，则的最大值为　 　；最小值为　 　． 5(★★)设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是　 　． 【方法二】代数法 【典题1】 求点到椭圆上的点之间的最短距离． 【典题2】 已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为离心率为点是椭圆上的动点的面积的最大值为． 求椭圆的方程； 设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点线段的中垂线为．若直线与直线相交于点与直线相交于点求的最小值． 【典题3】 是抛物线上的动点，过作圆：的两条切线交轴于两点， 若两条切线的斜率乘积为求点的纵坐标； 求当时面积的取值范围． 【典题4】 如图，已知抛物线：为圆：上一动点，由向引切线，切点分别为当点坐标为时的面积为． 求的方程； 当点在圆：上运动时，记分别为切线的斜率，求||的取值范围． 巩固练习 1(★★) 已知抛物线的焦点为过点的直线与抛物线交于两点为坐标原点，若，过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点D，则的最小值为　 　． 2(★★)设为坐标原点是以为焦点的抛物线上任意一点是线段上的点，且则直线的斜率的最大值是　　． 3 (★★) 是椭圆的左、右焦点，点上，则∠的最大值是　　． 4(★★) 已知过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为　 　． 5(★★★)已知椭圆：的短轴长等于离心率为． (1)求椭圆的标准方程 (2)若过点的直线与椭圆交于不同的两点为坐标原点，求的取值范围． 6(★★★)已知椭圆1右焦点离心率为过作两条互相垂直的弦设中点分别为． (1)求椭圆的标准方程；(2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围； 7(★★★) 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点)，点在椭圆上，且直线与轴轴分别交于两点． ①设直线斜率分别为证明存在常数使得并求出的值； ②求面积的最大值． 8(★★★) 已知抛物线:焦点为直线交抛物线于 两点为的中点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若求的最小值． 9(★★★) 如图，抛物线：的焦点为以为直角顶点的等腰直角的三个顶点均在抛物线上． (1)过作抛物线的切线切点为点到切线的距离为求抛物线的方程； (2)求面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线最值问题 1 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆