3.5.4 圆锥曲线定值问题-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线定值问题 1 定值问题 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. Eg ① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长； ② 椭圆上一动点到两焦点的距离之和为一定值； 2 解决此类问题的基本策略 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【方法一】参数法 【典题1】 已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是． 求椭圆的方程； 过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值． 【典题2】 已知是椭圆上的两点，且其中为椭圆的右焦点． 求实数的取值范围； 在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由． 【典题3】 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点． (1)求椭圆的方程； (2)求的最小值，并求此时圆的方程； (3)设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值． 巩固练习 1 (★★★) (多选)已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点与抛物线交于点B两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点若则以下结论正确的是(　　) A． B． C． D．为中点 2 (★★★)椭圆：的离心率为为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于两点．当时. 求的方程；求证：为定值． 3 (★★★)已知双曲线渐近线方程为为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值． 4 (★★★)已知双曲线的方程：． (1)求点到双曲线上点的距离的最小值； (2)已知圆：的切线(直线的斜率存在)与双曲线交于两点，那么 ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 5 (★★★)设椭圆：的离心率过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线分别与椭圆交于两点，且中点为． (1)求椭圆方程． (2)椭圆上是否存在不同于的定点，使得的面积为定值，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由． 【方法二】“由特殊到一般”法 【典题1】 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内． 求双曲线的方程； 若直线分别与直线交于两点，证明为定值； 是否存在常数，使得∠∠恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 巩固练习 1 (★★★)已知椭圆的离心率为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值． 2(★★★) 已知为坐标原点，椭圆：1的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为上、下顶点分别为，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的两个动点，的面积为．证明：存在定点，使得为定值． 【方法三】几何法 【典题1】 已知抛物线:经过点． 求抛物线的方程及其相应准线方程； 过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中．设线段和的中点分别为，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值． 巩固练习 1 (★★★) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,．已知和)都在椭圆上，其中为椭圆的离心率． 求椭圆的方程； 设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点． 若求直线的斜率；求证：是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线定值问题 1 定值问题 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. Eg ① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长； ② 椭圆上一动点到两焦点的距离之和为一定值； 2 解决此类问题的基本策略 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中