24.4 弧长和扇形面积（讲+练，17题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.4 弧长和扇形面积 1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积. 2.了解圆锥母线的概念,理解圆锥与其展开图的对应关系,并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法 3.会利用平移及旋转求不规则图形的面积 知识点一 弧长公式 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 注意：在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,因此,n和180都不需要带单位“°”. 2.弧长公式的推导过程 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是.这样，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：，化简为. 即学即练1（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）半径为，的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为 （结果保留）． 知识点二 扇形的面积 一般地，如果扇形的半径为 R,圆心角为 n°,扇形的弧长为,那么扇形面积S的计算公式为 提示 (1) 与弧长公式的推导类似，圆心角为1°的扇形面积是圆面积的，即，圆心角为n°的扇形面积是它的n倍,因此在公式中,n和360都不带单位“°”. (2) 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似,可以把扇形看成一个曲边三角形,把弧长1看成底边,R 看成高,这样对比便于记忆,也便于应用. (3) 扇形的两个面积公式要灵活地选择使用,当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时,选用公式. (4) 根据扇形的面积公式和孤长公式,已知，l,n,R四个量中的任意两个量,则可以求出另外两个量. 即学即练1（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江·九年级校联考期中）如图，是的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，求弧的长和扇形的面积． 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的相关概念 (1)圆锥的构成:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 (2)圆锥的母线:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 (3)圆锥的高:连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 (4)圆锥的基本特征: ①圆锥的轴通过底面的圆心,并垂直于底面； ②圆锥的母线长都相等; ③圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形,故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成个直角三角形. 2.圆锥的侧面积和全面积 如图所示,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到圆锥的侧面展开图， 一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长l，扇形的弧长就是圆锥底面圆的 周长2πr. 圆锥的侧面积 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和，即 即学即练1（2023上·江苏常州·九年级统考期中）已知圆锥的母线长为5，底面圆的直径为 8，则它的侧面积为 （结果保留）． 即学即练2（2023上·江苏南通·九年级统考期中）圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为 ． 知识点四 不规则图形面积的求法 求不规则图形的面积时,注意观察分析图形,学会分解和组合图形. 第一步：分析图形可分解为哪些基本图形(如圆扇形、三角形、平行四边形、矩形、正方形等可以直接求面积的图形). 第二步：分析各图形之间有何联系. 第三步：将不规则图形转化为与其面积相等的规则图形求解或将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差)的形式进行求解. 即学即练1（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，有一个半径为3的圆形时针，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 知识点五 圆内接四边形的概念 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆 注意： 1.内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系 2.任何一个三角形都有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆 3.不能成为圆内接四边形的特殊图形:平行四边形(不包括矩形、正方形)、菱形(不包括正方形),因为平行四边形和菱形的对角不一定互补 知识点六 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补 如图所示，四边形