3.2双曲线大题 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：双曲线大题 知识点：双曲线的几何性质及其应用 1．双曲线的简单几何性质：－=1（a＞0，b＞0） （1）范围：|x|≥a，y∈R； （2）对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称； （3）顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） （4）渐近线： ①若双曲线方程为渐近线方程；②若渐近线方程为双曲线可设为；③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是 2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝． 【注】 1．与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是 2．等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b） （1）形式：（）（2）离心率（3）两渐近线互相垂直，为y=； 3．等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项． 4．共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 性质：（1）有共同的渐近线；（2）共轭双曲线的四个焦点共圆（3）离心率倒数的平方和等于1． 典型例题 例1已知三点P、 、 ． （1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程． 例2已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，． （1）求双曲线C的方程； （2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标． 例3已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切． 例4已知双曲线的焦点是椭圆： 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数． （1）求椭圆的方程； （2）设动点， 在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值． 例5已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点， （1）求动点的轨迹的方程； （2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围． 例6如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 例7在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点 （1）求双曲线的方程； （2）已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点． 例8在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为． （1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程； （2）设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标． 例9已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点． （1）求双曲线的方程． （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 例10．已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标． 举一反三 1．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若点Q是直线上一动点，过点Q引双曲线两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否恒过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上． （1）求的方程； （2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知双曲线的右焦点，离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值． 4．设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 5．已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由． 6．设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点． （1）求双曲线的方程； （2）求直