上海市市西中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023~2024学年市西中学高一上学期期中试卷 (完成时间:90分钟) 一、填空题(每空4分,共40分) 1.集合,则集合A共有_个子集. 2.不等式的解集是_. 3.函数(且)经过与无关的定点_. 4.函数的定义域是_. 5.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,那么当时,_. 6.若的值域为,则的取值范围是_. 7.函数的图像关于点中心对称,则_. 8.已知,方程有4个实数解,则的取值范围是_. 9.已知:函数,的最小值是关于的函数,记为,则_. 10.已知函数,若对任意正数,均有成立,则的最小值为_. 二、选择题(每题4分,共16分) 11.已知:一元二次不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 12.已知命题:“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题,给出下列命题,其中真命题的个数是( ) ①中的元素都不是的元素;②中有不属于的元素; ③中有的元素;④中的元素不都是的元素. A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知:奇函数,在严格递减,则下列结论正确的是( ) A.在严格递减 B.在上严格递减 C.在上严格递减 D.在上严格递减 14.设,若有且仅有三个解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 三、解答题(15、16、17每题8分,18、19每题10分,共44分) 15.解关于的不等式:. 16.(1)利用定义证明:函数在上单调递增. (2)求方程的实数解(精确到0.1). 17.如图,正方形的边长为2,为边上的一点,,为线段上的一点,,垂足为,,垂足为. (1)设,试将矩形的面积表示成关于的函数; (2)求矩形的面积的最大值. 18.已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足. (1)求函数和的解析式; (2)设:(其中为常数),若:对于恒成立,求的取值范围. 19.在区间上,若函数为增函数,而函数为减函数,则称函数为“弱增函数”.已知函数. (1)判断在区间上是否为“弱增函数”; (2)设,且,证明:; (3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.8; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.2; 8.; 9.; 10.; 9.已知:函数,的最小值是关于的函数,记为,则_. 【答案】 【解析】当时,在上严格递增,故时,; 当时,在上严格递增,故时,; 当时,在上严格递减,在上严格递增. 故当,即时,在上单调递增,∴; 故当,即时,在上单调递减,在上单调递增,∴; 故当,即时,在上单调递减,∴; 综上所述:. 10.已知函数,若对任意正数,均有成立,则的最小值为_. 【答案】 【解析】函数的定义域为. , ∴,即, ∴为定义在上的奇函数. 由复合函数的单调性易知,当时,与均单调递减, 在区间上单调递减, 又为定义在上的奇函数,∴在上单调递减. ∴由得,∴,即. ∴由基本不等式,. 当且仅当,即,时等号成立,∴的最小值为. 故答案为:. 二、选择题 11. B 12.B 13. D 14.D 13.已知奇函数,在严格递减,则下列结论正确的是( ) A.在严格递减 B.在上严格递减 C.在上严格递减 D.在上严格递减 【答案】D 【解析】根据题意:只知道奇函数在和上分别严格递减,但由于不确定的值,故在上和上的单调性也不确定,A和B错; 对于选项C:当时,在上的单调性仍然不确定,C错; 对于选项D:易得,故,∴,故在上严格递减,D正确,故选D. 14.设,若有且仅有三个解,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】首先作函数的图像,由题意可知, 当时,,则此时在上单调递减,且值域为. 当时,由可知,函数是以1为周期的周期函数,且当时,,结合函数的图像可知:当满足时,与有且仅有三个交点,即有且仅有三个解时有,故选D. 三.解答题 15.当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为. 16.(1)证明:当时, ; 所以单调递增 (2)结合零点存在定理与二分法求解. 17.(1)(其中); (2)当时,;当时,. 18.已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足. (1)求函数和的解析式; (2)设:(其中为常数),若:对于恒成立,求的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】(1),∴,而为偶函数,为奇函数,∴; (2)在上单调递增,令, ∴对于恒成立, ∴,即对于恒成立,∴. 而,当且仅时等号成立, ∴,∴. 19.在区间上,若函数为增函数,而函数为减函数,则称函数为“弱增函数”.已知函数. (1)判断在区间上是否为“弱增函数”; (2)设,且,证明:; (3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)是;(2)见解析;(3)且. 【解析】(1)显然在区间上为增函数. 因为, 所以在区间上为减函数,所以在区间上为“弱增函