专项训练三 线段垂直平分线和角平分线的综合应用-【勤径千里马】2023-2024学年八年级下册数学走向假期（北师大版）

3.(n-2)·180°(n是大于或等于3的自然数) 4.360° 5.在平面内，内角都相等、各边也都相等 考点小练 1.B 2.D 3.B 4.A 5.A 6.8 7.10 第二部分 专项训练 专项训练一 构造等腰三角形的常用方法 1.证明：过点D作DM//AC,交BC 于点 M. ∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DMB,∴BD=MD. ∵BD=CE,∴MD=CE. ∠MDF=∠E, 在△DMF和△ECF中，{∠MFD=∠CFE, lMD=CE, ∴△DMF≌△ECF(AAS),∴DF=EF. 2.(1)证明：过点P作PF//BC交AC于点 F. ∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD=∠QCD. ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°,∴∠A=∠AFP=60°, ∴△APF是等边三角形，∴AP=PF. ∵AP=CQ, ∴PF=CQ,∴△PFD=△QCD,∴PD=DQ. (2)解： 3.证明：如答图，过点C作CD平分∠ACB,交AB于点 D,过 点D作DE⊥BC于点 E. ∵∠ACB=2∠B, ∴∠B=∠BCD=∠ACD,∴△DBC是等腰三角形. 又∵DE⊥BC,∴BC=2EC. 又∵BC=2AC,∴AC=EC. 在△ACD和△ECD中， ∴△ACD≌△ECD(SAS),∴∠A=∠DEC=90°. A k B= E 3 题答图 C 4.证明：延长 BA和 CE交于点 M. ∵CE⊥BD,△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC,∠BEC=∠BEM=∠BAC=90°, ∵∠BDA=∠CDE,∴∠ABD=∠ACM. 又∵∠BAD=∠CAM=90°, ∴△BAD≌△CAM,∴BD=CM. ∵BD平分∠ABC,BE⊥CM, ∴ME=BC=÷CM∴BD=2CE. 5.解：方法一(截长法):在CD上取点 E,使 DE=BD,连接 AE,易得CE=AB=AE. ∴∠CAE=∠C,∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C. ∵∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=2(90?-∠AED)+ ∠CAE=2(90?-2∠C)+∠C=120°, ∴∠C=200 方法二(补短法):延长 DB至点F,使BF=AB,连接AF, 则∠F=∠FAB,AB+BD=DF=DC. 又∵AD⊥BC,∴AF=AC,∴∠C=∠F=∠FAB. 又∵∠F+∠C+∠FAB+∠BAC=180°, ∴3∠C+120°=180°,∴∠C=20°. 6.证明：在 BC上截取 BE=AB,连接 DE. ∵AB=AC,∠A=108°, ∴∠ABC=÷(180°-∠A)=36°. ∵BD平分∠ABC,∴∠DBA=∠DBE. rAB=EB, 在△DBA和△DBE中，{ ∠DBA=∠DBE, (DB=DB, ∴△DBA≌△DBE(SAS),∴∠A=∠BED, ∴∠DEC=180?-∠BED=180?-∠A=72°, ∠CDE=∠BED-∠C=∠A-∠C=72°. ∴∠DEC=∠CDE,∴CD=CE,∴BC=BE+CE=AB+CD. 7.证明：如答图，在边AC上截取AP=AB,连接DP. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD. 又∵AD=AD,∴△ABD≌△APD, ∴∠APD=∠B,PD=BD. ∵∠B=2∠C,∠APD=∠PDC+∠C,∴∠PDC=∠C, ∴PD=PC,∴BD=PC,∴AB+BD=AP+PC=AC. A P B∠ -CD 7题答图 8.解：方法一(截长法):在CD上截取 DE=BD=2,连接AE. ∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠AEB=∠B=2∠C. ∵∠AEB=∠C+∠EAC, ∴∠C=∠EAC,∴AE=EC=CD-DE=6,∴AB=6. 方法二(补短法):延长 DB至点F,使得 BF=AB,连接AF, 则∠F=∠BAF,∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F. ∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C,∴AF=AC. ∵AD⊥FC,∴FD=DC=8. ∵BD=2∴FB=FD-BD=6,∴AB=FB=6. 专项训练二 “三线合一”巧解题 1.证明：在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(AAS),∴BE=CE. ∵F是BC的中点，∴EF⊥BC. 2.解：(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=70°, ∴∠BAC=180?-70°×2=40°. ∵D为BC的中点，∴AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD=÷∠BAC=÷×40°=20。! (2)∵NM//AC,∴∠ANM=∠CAD. ∵∠CAD=∠BAD,∴∠ANM=∠BAD, ∴AM=NM,∴△BMN的周长为MB+NM+BN=MB+AM +BN=AB+BN=8+3=11. 3.证明：如答图，连接AC,AD. 在△ABC和△AED中， ∵A