专题07 二次函数中的定值、定点问题-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题07 二次函数中的定值、定点问题 类型一、定值问题 例．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的解析式 (2)是直线下方抛物线上的一点，连接、、，交于，，求点的坐标． (3)如图2，若动直线与抛物线交于，两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 【变式训练1】．如图，抛物线经过、两点，直线交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），与抛物线的另一个交点为D，交直线于点E，连接，求证：轴． (3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，分别交y轴于F、G两点，求证：为定值． 【变式训练2】．已知抛物线 与x轴交于A、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点，且．    (1)求二次函数的解析式； (2)若抛物线上B、C 两点之间有一点N，且的面积为4，求N点坐标； (3)抛物线的对称轴交x 轴于M，P 为抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点Q，点P 关于抛物线对称轴的对称点为，直线交对称轴于G 点，试探究：在P 点运动的过程中，线段的长度会发生变化吗？若不变，请求其长度． 【变式训练3】．如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．    (1)求顶点A的坐标； (2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得，求点P坐标； (3)如图（2），将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式训练4】．如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．    (1)①求该抛物线所对应的函数解析式；②求四边形ACFQ的面积； (2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ． ①当是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标． ②如图3，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 【变式训练5】．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线，顶点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），点E是直线上方抛物线上一点，连接，，，若的面积为4，求点E的坐标； (3)如图（2），设直线（）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线的对称点为，直线与直线 交于点P，求证：BP的长为定值． 类型二、定点问题 例．已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标； (3)如图2，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点 【变式训练1】．如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【变式训练2】．如图1，抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，，其对称轴为直线．    (1)直接写出抛物线C的解析式； (2)已知点，点，均在抛物线上（点在点右侧），若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，，它们与轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点和点，求证：直线必过定点． 【变式训练3】．如图1，抛物线：与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，作抛物线关于原点O中心对称的抛物线，若抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标． 【变式训练4】．如图1，已知抛物线（m是常数）的顶点为P，直线． (1)求证：点P在直线 上； (2)已知直线 与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值； (3)如图2，当 时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足 ，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限