专题06 二次函数中特殊四边形存在性问题-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题06 二次函数中特殊四边形存在性问题 类型一、平行四边形存在性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．    (1)点坐标是______；点坐标是______； (2)求抛物线的解析式和顶点坐标； (3)探究1：在抛物线上直线下方是否存在一点，使面积最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．已知抛物线（如图所示）． (1)填空：抛物线的顶点坐标是（　 　，　 　），对称轴是　 　； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形？直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由 【变式训练3】．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B．    (1)求该抛物线的解析式； (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； (3)若点C在直线上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点D的坐标． 【变式训练4】．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、菱形存在性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)直线与直线交于点．点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，交直线于点． ①若点在第二象限，且，求的值； ②在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由． 【变式训练3】．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 例．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存