专题05 二次函数中特殊三角形存在性问题-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题05 二次函数中特殊三角形存在性问题 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．如图，已知二次函数的图象交轴于点，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； (3)直线（不经过点）分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【变式训练3】．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及这个二次函数的关系式： (2)求的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4】．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 类型二、直角三角形存在性问题 例．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式和点D坐标； (3)在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (4)在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得是直角三角形？如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式训练1】．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作轴交BD于点E，过点P作直线OD于点F．当为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接BC、BD，将绕点O顺时针旋转得到，使得，将线段沿射线平移得到，连接，，请问在平移过程中，是否存在是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练3】．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为. （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴于点H，得到矩形，求矩形的周长的最大值； （3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)求点B的坐标； (2)分别求出直线BC的解析式和抛物线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接，．    （1）点P的坐标为 ． （2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰直角三角形时，点M的坐标为 ． 【变式训练1】．如图①，已知抛物线L：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线下方的抛物