5.1.1 任意角--2023-2024学年高一数学新教材【教材解读】（人教A版2019必修第一册）

第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 理解并掌握正角、负角、零角的概念；掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法. 通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角. 课前预习 一、角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。 2、角的分类： （1） ：按逆时针方向旋转形成的角； （2） ：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。 二、相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为. 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是 三、终边相同的角 1、相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。 2、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 四、象限角及其集合表示 1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 2、象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 五、轴线角及其集合表示 1、定义：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。 2、轴线角的集合的表示方法 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 知识讲解 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的表示 如图， (1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 4．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． (5)终边相同的角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍； ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　 提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与