专题3.5 解二元一次方程组的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题3.5 解二元一次方程组的应用 【典例1】已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ （4）如果方程组有整数解，求整数的值． 【思路点拨】 （1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值； （2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值； （3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可． （4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可． 【解题过程】 解：（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y， ∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0， ∴0＜y＜2.5， 又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2， 代入方程得相应x=3、1， ∴方程2x+y=5的正整数解为； （2）∵x+y=0 ∴x+2y=5变为y=5 ∴x=-5 将代入得. （3）∵由题意得二元一次方程总有一个公共解 ∴方程变为(m+1)x-2y+9=0 ∵这个解和m无关， ∴x=0，y= （4）将方程组两个方程相加得 ∴ ∵方程组有整数解且m为整数 ∴，， ①m+2=1，计算得：（不符合题意） ②m+2=-1，计算得：（不符合题意） ③m+2=2，计算得：（不符合题意） ④m+2=-2，计算得：（不符合题意） ⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2        ⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6 综上所述整数m的值为2或-6． 1．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲同学看错a得到方程的解为，乙同学看错b得到方程组的，求的值． 2．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值． 3．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得．乙因忽略了c，解得，试求的值． 4．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为. （1）求出原方程组的正确解． （2）甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？ 5．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ （2）求出原方程组的正解． 6．（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组的解满足，求的值． 7．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足4x+y=15，求k的值． 8．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于，的方程组的解中与的和为，求的值及此方程组的解． 9．（2021春·吉林松原·七年级统考期中）已知关于、的方程组的解适合方程，求的值． 10．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a，b的值； （2）求的立方根． 11．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解， （1）求这个相同的解； （2）求m、n的值； （3）小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解，这句话对吗？请你说明理由． 12．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题： （1）请你直接写出方程的正整数解___________． （2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值． （3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 13．（2022春·内蒙古乌兰察布·七年级统考期末）阅读学习∶ 已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值． 行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶ 甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值． 乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值． 解决问题∶ （1）选择其中一名同学的思路，解答此题． （2）已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值． 14．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只