3.3.2 抛物线的简单几何性质（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 抛物线的四种标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 l F y x O 复习回顾 2 思考 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 1.范围： 2.对称性： 3.顶点： 4.离心率： 研究方法：直观猜想 方程验证 新知探究 3 问题1 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的范围是什么？ 由抛物线 有 所以抛物线的范围为 1.范围 4 问题2 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性如何？ 以代，方程 不变，所以抛物线关于轴对称． 把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 2.对称性 5 问题3 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的顶点是什么？ 在方程 ()中， 当时， 因此抛物线的顶点就是原点. 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点． 3.顶点 6 问题4 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的离心率是什么？ 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示． 由抛物线的定义可知，. 4.离心率 7 抛物线的焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段. 焦半径公式： 5.焦半径 思考: 如图是抛物线上任意一点，焦点为，如何求焦半径？ 8 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： 6.焦点弦 思考: 如图直线过焦点，点A 是两个交点，如何求焦点弦？ A B y2=2px x l F y O 7.通径 追问:如图若焦点弦垂直于对称轴时，弦长是多少？ |AB|=2p 2p 越大，抛物线张口越大 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确的画出抛物线的草图. 通过焦点且垂直对称轴的弦. 抛物线的通径： 长度为2p 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 例题精讲 【课本】例3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程． 解：由已知可设抛物线的标准方程为 所求方程为： 将点代入得 得 变式训练 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程. y2=4x或 x2=y 12 【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 法2:设而不求,运用弦长公式求弦长 法1:直接求两点坐标,用两点间的距离公式求弦长 法3:设而不求,运用焦点弦公式求弦长 思路分析： 13 【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：(法2)设 直线的为抛物线方程，化简得 ∴ +=6, =1 =8. 解: (法3)由题可知，焦点的坐标为，准线方程为. 【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 如图，设 由抛物线的焦点弦公式得 . 直线的方程为 ① 将①代入方程，化简得 所以=6，. 所以，线段AB的长是8. 如果直线不经过焦点，还等于吗？ 16 分析：如图，设 ， ． 思考 如果直线不经过焦点，还等于吗？ 由三角形性质 由抛物线的定义可知 解:∵抛物线y2=4x ， ∴p=2,焦点为(1,0) ∵直线l的斜率为1且过点M(2,0) ∴直线l的方程为y=x-2 ① 将①代入y2=4x得x2-8x+4=0 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，x1x2=4 所以 【课本】 练习3.过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求. 课堂练习 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称