专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题 【知识梳理】 1 【考点1：椭圆中的定点定值问题】 1 【考点2：双曲线中的定点定值问题】 5 【考点3：抛物线中的定点定值问题】 8 【知识梳理】 1、涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 2、圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 3、解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【考点1：椭圆中的定点定值问题】 【知识点：椭圆中的定点定值问题】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆的左、右顶点，过其焦点的直线与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点(异于A，B)，直线，交于点，求证：为定值. 2．（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标. 3．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若，过作直线与轨迹交于两点（不与重合），记直线与的斜率分别为，证明：为定值. 4．（2023上·北京西城·高二北师大实验中学校考期中）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 5．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知椭圆过点，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程； (3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点. 6．（2023上·北京·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值 7．（2023上·福建福州·高二校联考期中）已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 8．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【考点2：双曲线中的定点定值问题】 【知识点：双曲线中的定点定值问题】 1．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 3．（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 4．（2023上·浙江绍兴·高二绍兴一中校考期中）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由． 5．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线