精品解析：福建省厦门第一中学2024届高三上学期期中考试数学试题

福建省厦门第一中学2023—2024学年度 第一学期期中考试 高三年数学试卷 一、选择题：本题8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知一个盒子中有5个大小相同的小球，其中3个是白球，2个是黄球，从中任取3个小球，则2个黄球都被取到的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ） A. B. C. D. 6. 数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ） A. B. C. D. 7. 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，少选得2分，选错得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在棱上时，的最小值为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 11. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有2个极值点 C. 有且仅有1个零点 D. 的一条切线方程为 12. 在数列中，.则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为，则该圆锥体积为___________. 14 ______． 15. 组合数被9除的余数是______． 16. 已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项等比数列满足，，公比. （1）求数列的通项公式； （2）若，试判断：数列有没有最大项?若有，求出第几项为最大项；若没有，请说明理由. 18. 已知中，角所对边分别为，且的面积为. （1）若，求的值. （2）当为何值时，取得最大值，并求出该值. 19. 如图，四棱锥中，，，，，且. （1）若平面，证明：点为棱的中点； （2）已知二面角的大小为，求：平面和平面夹角的余弦值. 20. 截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注重点.下图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（表示行车速度，单位：分别表示反应距离和制动距离，单位：） 道路交通事故成因分析 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）； （2）已知与的平方成正比，且当行车速度为时，制动距离为.由表中数据可知，与之间具有线性相关关系，请建立与之间的回归方程，并估计车速为时的停车距离. 参考数据： 参考公式：对于一组数据，其线性回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 21. 已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 22. 已知函数. （1）若单调递减，求的取值范围； （2）若的两个零点分别为，，且，证明：. （参考数据：） 第1页/共1页