4.4 对数函数讲义（22种题型，其中8种大小比较题型）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4 对数函数 1、对数函数的定义： 一般地，函数，且叫做对数函数，其中是自变量，定义域是，。 判断是否是对数函数的依据：（1）形如；（2）底数满足，且；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域是，。 例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数。 2、对数函数的图象与性质： ，且 底数 图象 定义域 ， 值域 单调性 在，上是增函数 在，上是减函数 共点性 图象过定点，，即时， 函数值特点 时，； 时，； 时，； 时，； 对称性 函数与的图象关于轴对称 3、对数型函数的定义域的求解： （1）对数函数的定义域为，。 （2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于，底数大于，且不等于。若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义。 一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证。解得的取值范围，即为函数的定义域。 （3）求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集。 4、对数型函数的值域的求解： （1）充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法。 （2）对于函数，且，利用换元法，设，则函数的值域就是函数的值域。 （3）对于形如，且的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成，这两个函数； ②求的定义域； ③求的取值范围； ④利用的单调性求解。 5、利用对数函数的单调性比较大小： ①底数相同，真数不同： 比较同底数（是具体的数值）的对数大小，利用对数函数的单调性比较大小。 ②上下比较：在直线的右侧，当时，随的增大，对数函数的图像愈靠近轴； 当时，随的减小，对数函数的图像愈靠近轴。 ③左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大。 ④底数不同，真数也不同：对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量，进行比较。 6、反函数： 一般地，指数函数，且与对数函数，且互为反函数。它们的定义域与值域正好互换。 一般地，对于函数，设它的值域为。我们根据这个函数中的的关系，用把表示出来，得到。如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和他对应，那么就表示是自变量的函数。 这样的函数叫做的反函数，记作。 7、反函数的性质： ①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。 ③若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上。 8、求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由解出，即用表示出； ②把替换为，替换为； ③根据的值域，写出其反函数的定义域。 9、不同函数的增长差异： 综上所述，虽然函数与在区间［，上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度。尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有。 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似。即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度。 虽然对数函数与一次函数在区间，上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢。不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有。 10、几种不同增长的函数模型： ①一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 ②指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。 ③对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 ④幂函数模型：当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长速度就越快。 【题型1】对数函数定义的判断、利用对数函数的定义求参数 1．下列函数是对数函数的是（　　） A．y＝log2x B．y＝ln（x+1） C．y＝logxe D．y＝logxx 2．下列函数是对数函数的是（　　） A．y＝loga（2x） B．y＝lg10x C． D．y＝lnx 3．函数f（x）＝（a2+a﹣5）logax为对数函数，则f（）等于（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣log36 D