专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由．【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．       例4．（2022·江苏·九年级专题练习）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点． （1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ； （2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由： （3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值． 例5．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 课后专项训练 1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 2．（2023广东九年级期中）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的