专题05 圆中的重要模型之圆幂定理模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题05 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    例2．（2022·山东·统考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 例3．（2023秋·山西大同·九年级校考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 斯库顿定理：如图1．在中，为的平分线，则．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2，是的外接圆，延长交于点，连接． ∵为的平分线， ∴． ∵，（依据①__________________________） ．（依据②_________________________） 又， ． ． …… 任务：（1）证明过程中的依据是：①_____________________．②_______________________． （2）将证明过程补充完整： （3）如图3．在圆内接四边形中，对角线，相交于点．若，，，，，请利用斯库顿定理，直接写出线段的长． 模型2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 例2．（2023·湖北九年级月考）如图，割线交于、两点，且，交于，，，则的长为（        ） A． B． C． D． 例3．（2022·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、， (1)证明：(2)若，，，求的长. 模型3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（   )    A． B．16cm C． D． 例2．（2022·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　 ． 求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 例3．（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________），∴． 　　　　 任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 模型4.弦切角模型 条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。 结论：1）； 2）； 3）。 例1．（2023·成都九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并