3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 1 问题2 在直线和圆的方程的学习中，我们研究了哪些问题？ 思考1: 类似的，如何研究椭圆？ 直线 直线的方程 与直线有关的位置关系，距离等问题 圆的概念 圆的方程 与圆有关的位置关系，距离等问题、实际应用 椭圆的概念 椭圆的方程 椭圆的性质、实际应用 问题3 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什么图形？ · r O 如果把细绳的两端分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ F1 F2 追问1：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 追问2：两定点位置不动，改变绳子的长度，画出的轨迹会发生什么变化？ 椭圆 线段F1F2 没有轨迹 （1）绳子长度大于两定点距离 （2）绳子长度等于两定点距离 （3）绳子长度小于两定点距离 M F1 F2 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 一、椭圆的定义: 注意 ① 在平面内----(这是前提条件)； ② 定点F1, F2； ③ 定长：动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数； 动点M的轨迹是线段F1F2 ； 动点M没有轨迹 . ④ F1 F2 M • • 问题4 你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？ 5 问题5 类比求圆的标准方程的步骤，如何建立椭圆的方程？ 　 1、建系 2、设点 3、列式 4、化简 求圆的标准方程的步骤： 追问2：椭圆是否具有某种对称性？你能猜想出椭圆的对称轴吗？ 追问1：如何选取坐标系可以使所得的椭圆方程形式简单？ F1 F2 M • • x y O (x,y) F1 F2 P • • x y O F1 F2 M • • x y O (x,y) 如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), b2＝a2－c2. 二、椭圆的标准方程: 特 征：方程的左边是平方和，右边是1，“像”直线方程的截距式 标准方程：体现数学式子的简洁美、对称美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻的含义，最能直观体现参数几何意义。 8 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 问题7：如果椭圆的焦点F1，F2 在y轴上，且F1，F2 的坐标分别为 （0，c)，（0，-c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 共同点： 9 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程 焦点坐标 轨迹 a,b,c的关系 椭圆的定义及标准方程 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上 a c b 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆.( ) × （2） 椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( ) × （3） 椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足 .( ) √ （4） 方程 表示的曲线是椭圆.( ) √ 小试牛刀 返回至目录 11 2.设P(x,y)满足+=5,则点P的轨迹为(　　).　　 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 B [解析] ∵+=5表示点P(x,y)到定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为5,即|PF1|+|PF2|=5>|F1F2|=4, ∴点P的轨迹为椭圆.故选B. 椭圆定义应用：导学案111页 返回至目录 13 练习2.（第109页） 14 A B A B 例1 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点 与两个焦点 ， 的距离的和等于4，且 ，则 的面积为_ _____. <m></m> [解析] 由题意知 <m></m> ， <m></m> . 在 <m></m> 中，由余弦定理得 <m></m> ， 即 <m></m> . ① 又 <m></m> , ② 联立①②可得 <m></m> , 所以 <m></m> . 新知生成 椭圆的定义：平面内与两个定点 <m></m>