专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________． 例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 例3．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．    例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O． (1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③． (2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 课后专项训练 1．（2023广东九年级期中）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 2．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，