3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时 焦点弦）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 焦点弦 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2. 归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同. 3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。 01情景导入 PART ONE 复习导入 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 02抛物线的简单的几何性质 PART ONE 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 解:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x. 答案:C 2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 C 抛物线的简单几何性质 C 03课堂小结 PART ONE 课堂小结 焦点弦问题 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，称为焦点弦．设A(x1，y1)， B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则根据抛物线的定义，有|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|，又MM1是梯形AA1B1B的中位线，所以|AB|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|. 故抛物线的焦点弦有以下结论： (1)以AB为直径的圆必与准线l相切； (2)|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))； (3)|AB|＝x1＋x2＋p； (4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)； (5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)； (6)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值，即x1x2＝eq \f(p2,4)， y1y2＝－p2； (7)S△AOB＝eq \f(p2,2sin α)(α为直线AB的倾斜角)； (8)∠A1FB1＝90°. 1.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦． 求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)； (2)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2). 设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，把它代入y2＝2px， 化简，得y2－2pmy－p2＝0. 易知Δ＞0，∴y1y2＝－p2， ∴x1x2＝eq \f(y12,2p)·eq \f(y22,2p)＝eq \f(（y1y2）2,4p2)＝eq \f(（－p2）2,4p2)＝eq \f(p2,4). （2）分别过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋eq \f(p,2)，|FB|＝|BB1|＝x2＋eq \f(p,2)， ∴eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2)) ＝eq \f(2,2x1＋p)＋eq \f(2,2x2＋p)＝eq \f(2（2x2＋p）＋2（2x1＋p）,（2x1＋p）（2x2＋p）) ＝eq \f(4（x1＋x2）＋4p,4x1x2＋2p（x1＋x2）＋p2)＝eq \f(4（x