第5.2.1讲 三角函数的概念-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 第5.2.1讲 三角函数的概念 一、学习目标 1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养． 2．借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养． 二、重点难点 1、三角函数定义的应用 2、利用三角函数定义求值 3、由三角函数值求终边上的点或参数 三、核心知识 　任意角的正弦、余弦与正切的定义 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 任意角的三角函数的定义 (1)对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则称为角α的正弦，记作sin_α；称为角α的余弦，记作cos_α．即sin α＝，cos α＝． 当角α的终边不在y轴上时，此时称为角α的正切，记作tan_α，即tan α＝． (2)对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． [点拨] 1．在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集． 2．要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的． 　 正(余)弦与正切在各象限的符号 当α的终边不落在坐标轴上即α≠(k∈Z)时，你能判断sin α，cos α，tan α在各象限的符号吗？ 提示：由三角函数定义可知 ，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上异于原点的任意点P(x，y)，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.由r＞0可知，当α为第一象限角时，y＞0，x＞0，故sin α＞0，cos α＞0，tan α＞0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示． 1．三角函数的符号规律(记忆口诀) 一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2. 　三角函数值 α落在坐标轴上　　　 sin α cos α tan α α＝2kπ(k∈Z) 0 1 0 α＝2kπ＋π(k∈Z) 0 －1 0 α＝2kπ＋(k∈Z) 1 0 不存在 α＝2kπ＋(k∈Z) －1 0 不存在 三、核心例题 题型1、三角函数定义的应用 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角α的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型2、利用三角函数定义求值 6．已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 8．若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（    ） A． B． C． D． 9．已知角终边过点，则（    ） A． B． C． D． 10．设点为角的终边与单位圆的交点，且，，则下列命题成立的是（    ） A．总有 B．总有 C．存在角，使 D．不存在角，使 题型3、由三角函数值求终边上的点或参数 11．角的终边上一点的坐标为，且，则（    ） A． B． C． D． 12．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 14．已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 15．已知角的终边经过点，且，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 3、 当堂达标 一、单选题 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B．7 C． D． 2．若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ）