热点专练04 数列的十五个考查热点-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

热点专练04 数列的十五个考查热点 热点题型速览 热点一 递推与数列的通项 1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则等于（　　） A． B． C． D． 2.（2·3·全国·高考真题）已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 【点评】 数列的递推与等差数列、等比数列综合考查，是常见题型． 热点二 等差数列的基本运算 3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 4.（23·24高三上·黑龙江·阶段练习）等差数列的前n项和为则的最大值为（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【点评】 1.等差数列中的基本量，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 2. 在等差数列{an}中，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值． 3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景. 热点三 等比数列的基本运算 5．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 6．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【点评】 1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. 3.根据题目特点，可选用等比数列的性质. 热点四 等差数列、等比数列的判断与证明 7．（2023上·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）等比数列的公比为（常数），其前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．是等差数列 D．成等差数列 8.（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，，. (1)设，求证：是等比数列； (2)设，求证：是等比数列. 热点五 等差数列、等比数列的综合运算 9．（23·24上·荆州·阶段练习）已知等比数列的首项 ，前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 热点六 数列与数学文化 11.．（22·23下·荣昌·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（    ） A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺 12．（23·24上·温州·期中）我国古代数学著作《算法统宗》记载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意思是：总共七层，相邻两层，下一层灯数是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少于千灯，则顶层最少 盏灯. 【点评】 等差数列、等比数列的基本运算，往往以古代数学问题、古建筑特色问题为背景，考查学生的基本运算能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学应用意识. 热点七 数列的新定义问题 13.【多选题】（23·24上·赣州·期中）若数列满足：对任意正整数为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是（    ） A． B． C． D． 14.【多选题】（2023上·江苏泰州·高三统考期中）在数列中，若（其中n，，且，p为常数），则称数列为k级等积数列，p为数列的公积.下列对“k级等积数列”的判断，其中正确的有（    ） A．数列是2级等积数列 B．数列是4级等积数列 C．若为k级等积数列，则也是k级等积数列 D．若为k级等积数列，则也是k级等积数列 热点八 数列求和--公式法 15.（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（23·24上·黑龙江·阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：