第24章 专题五 圆中常见的辅助线归类-【天梯学案】2023-2024学年九年级全一册数学同步新课堂(人教版)

专题五圆中常见的辅助线归类|第二十四章 专题五 圆中常见的辅助线归类 知识引导 类型☑作直径构造直角或连弦构造同弧所对 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需 的圆周角 要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助 3.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦， ∠ABD=53°，则∠BCD为 () 线至关重要，圆中常用的辅助线作法有：作半 径，巧用同圆的半径相等：连接圆上两点，巧用 同弧所对的圆周角相等：作直径，巧用直径所对 的圆周角是直角：证切线时“连半径，证垂直”以 及“作垂直，证半径”等。 A.37 B.47° C.45 D.53 专题突破 4.在⊙O中，AB⊥CD于点E. <《答案D19 (1)如图，若AE-DE,求证：CE-BE: 类型☐遇弦作弦心距或半径 (2)连接AO,OD,OC.OB,若∠AOD=140°， 1.如图，在△OAB中，OA=OB,⊙O交AB于 求∠BOC的度数. 点C,D,求证：AC=BD 2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,∠B ∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD 交△ABC的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证：四边形AECD为平行四边形： (2)连接CO,求证：CO平分∠BCE. 类型目切线的性质与判定中常见的辅助线 5.如图，AB是⊙O的直径， D CD切O于点D,AC⊥CD, 垂足为C.已知AB=4, ∠BAC-110°，则劣弧AD 的长为 ■数学（九年级全-册）J|91 儿天梯学案初中同步新课堂· 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平类型日添加辅助线计算 分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半8.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延 径的圆经过点D,交BC于点E. 长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O (1)求证：AC是⊙O的切线： 于点F (2)若OB=10,CD=8,求BE的长. (1)AB与AC的大小有什么关系？请说明 理由： (2)若AB=8,∠BAC=45°，求图中阴影部分 的面积. 0 7.如图，AB=16,O为AB的中点，点C在线段 OB上（不与点O,B重合），将OC绕点O逆时 针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别 切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧， 连接OP. (1)求证：AP=BQ: (2)当∠B=30时，求优弧QD的长（结果保留π）： (3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求 O℃的取值范围. 92|数学（九年级全一册）J■∠BAE=∠CBG, :∠AOC=2∠ABC, 在△ABE和△BCG中， AB=BC, ∠BOD=2∠BCD. ∠ABE=∠BCG. .∠AOC+∠BOD=180°， ∴△ABE≌△BCG(ASA). ·∠AOD+∠BOC=180. (2)解：如图，连接OF :∠AOD=140°， :∠ABE=90,∠AEB=55°， .∠BOC=40. ∴∠BAE=90-55°=35， ,.∠BOF=2∠BAE=70°. 0A=3, 6.(1)证明：连接OD,如图所示. ·BF的长=70XmX3Z红 :BD为∠ABC的平分线， 180 6 .∠1=∠2. 。核心索养………… P89 又OB,OD均为⊙O的半径， 22元 ∴.OB=OD 中考在线…………… P90 .∠1=∠3，∠2=∠3. 1.B2.C3.D4.10π .OD∥BC,.∠ODA=∠C=90°， 5宣（或0.5 .OD⊥AC,AC是⊙O的切线： (2)解：如图，过圆心O作OF⊥BE于点F, 6,开-2 在Rt△BOF中，OB=10,OF=CD=8, 专题五圆中常见的辅助线归类 根据勾股定理，得BF=√OB一OF=6, 由垂径定理可知，F点为BE的中点， 。专题突破………………P四 .BE=2BF=12 1,证明：如图，过点O作OE⊥AB于 7.(1)证明：如图，连接OQ 点E. :在⊙O中，OE⊥CD, :AP,BQ是⊙O的切线， .OP⊥AP,OQ⊥BQ. ..CE=DE. .∠APO=∠BQO=90°. OA=OB,OE⊥AB, (OA=OB. ∴AE=BE, 在Rt△AP)和Rt△BQO中， .AE一CE BE一DE,,AC□ .Rt△APO≌Rt△BQO BD. 2.证明：(1)由圆周角定理，得∠B=∠E ..AP=BQ. 义∠B=∠D, (2)解：'Rt△APOY≌Rt△BQO. ∴∠E=∠D. .∠AOP=∠BOQ, CE∥AD,.∠D+∠ECD=180, .P,O,Q三点共线 ∴∠E+∠ECD=180°，∴.AE∥CD. ∠B=30°，∠B0Q=60°， ,四边形AECD为平行四边形. 六00-0B=4 (2)如图.作OM⊥BC于点M, :∠C0D-90°，∴∠Q0D=90°+60°-150， ON⊥CE于点N.