5.1.1平均变化率 课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.1.1　平均变化率 第5章　§5.1　导数的概念 1.了解平均变化率的实际背景. 2.理解平均变化率的含义. 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 学习目标 导语 恩格斯说：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.”大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现，而火箭的发射、F1赛道上赛车的速度却会让我们惊呼. 平均变化率的概念 一 问题　如图是某市近34天最高气温的统计图，用怎样的数学模型刻画气温变化的快慢程度？ 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 注意点：(1)函数在区间[x1，x2]上有意义. (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. 数量化 视觉化 6 （1）已知函数f(x)＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为(　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 例1　 答案　B 解析　f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B. (2)函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________. 答案　- 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 练习1 平均变化率概念的理解 (1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0. (3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同. 9 实际问题中的平均变化率 二 【例2】水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积 （单位： ） 试计算第一个10s内V的平均变化率. 即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.25 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)． 解： 练习2　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝ ＋15，其 中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为______℃/min. －1.6 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. 12 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 13 函数中的平均变化率 三 例3　计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为： (1)2； (2)1； (3)0.1； (4)0.01. 15 因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， (1)当Δx＝2时，平均变化率为Δx＋2＝4， 即函数f(x)＝x2在区间[1,3]上的平均变化率为4. (2)当Δx＝1时，平均变化率为Δx＋2＝3， 即函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3. (3)当Δx＝0.1时，平均变化率为Δx＋2＝2.1，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1. (4)当Δx＝0.01时，平均变化率为Δx＋2＝2.01，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01. 计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 观察上式可知， 当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小并接近于2. 18 （2）已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2 x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率. 解：函数f（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为　 同理可得, 函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为 2； 函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2； 函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2． ［问题］从上述习题的求解中，你能发现一次函数y = kx + b在区间[p ,q]上的平均变化率有什么规律吗？ ［结论］：一次函数y = kx + b在区间[p , q]上的平均变化率为直线的斜率k． 练习3 若函数f (x) = 3 x + 1 ,试